专题二 第二讲 数列的综合问题（课时作业）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

[A组　基础练] 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝Sn＋(n∈N*)． (1) 求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析：(1)由an＝Sn＋，可得Sn＝an－， 当n≥2时，Sn－1＝an－1－，则 an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1， 整理得an＝3an－1(n≥2)，而a1＝S1＝a1－，即a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， 则an＝1×3n－1＝3n－1. 故数列{an}的通项公式为an＝3n－1. (2)由(1)得bn＝＝＝＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 2．(2021·青岛模拟)已知公比为q的等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项． (1)求q的值； (2)若bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q. 依题意，有 即 由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝2或q＝1. 代入②知q＝1不成立，故舍去，所以q＝2. (2)由(1)知a1＝2，所以an＝2n， bn＝anlog2an＝2nlog22n＝n·2n， 所以Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 所以2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， 两式相减得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2， 所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 3．(2021·贵阳模拟)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn. 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1， 由S1＋a1＝1，得a1＝. 当n≥2时，Sn－1＝1－an－1， 则Sn－Sn－1＝(an－1－an)， 即an＝(an－1－an)， 所以an＝an－1(n≥2)． 故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列． 故an＝·n－1＝2·n(n∈N*)． (2)因为1－Sn＝an＝n.所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1.所以＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝. 4．(2021·绵阳质检)已知等差数列{an}的公差大于0，且a4＝7，a2，a6－2a1，a14是等比数列{bn}的前三项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn>39，求n的取值范围． 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0)． 由a4＝7，得a1＋3d＝7，　① 又a2，a6－2a1，a14是等比数列{bn}的前三项， ∴(a6－2a1)2＝a2a14，即(5d－a1)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，化简得d＝2a1，　② 联立①②，解得a1＝1，d＝2. ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)∵b1＝a2＝3，b2＝a6－2a1＝9，b3＝a14＝27是等比数列{bn}的前三项． ∴等比数列{bn}的首项为3，公比为3.∴Sn＝＝.由Sn>39，得>39，化简得3n>27，解得n>3，n∈N*. [B组　创新练] 5．(2021·泰安模拟)在①A5＝B3，②－＝，③B5＝35这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d(d＞0)，等差数列{bn}的公差为2d.设An，Bn分别是数列{an}，{bn}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，________. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝2an＋，求数列{cn}的前n项和Sn. 解析：(1)若选①： ∵数列{an}，{bn}都是等差数列，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3， ∴解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝n，bn＝b1＋(n－1)·2d＝2n＋1. 综上，an＝n，bn＝2n＋1. 若选②： ∵数列{an}，{bn}都是等差数列，且b1＝3，A2＝3，－＝， ∴解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝n，bn＝b1＋(n－1)·2d＝2n＋1. 综上，an＝n，bn＝2n＋1. 若选③：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，且b1＝3，A2＝3，B5＝35， ∴解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝n，bn＝b1＋(n－1)·2d＝2n＋1. 综上，an＝n，bn＝2n＋1. (2)由(1)得 cn＝2n＋＝2n＋， ∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋＋＋…＋＝＋＝2n＋1－. 6．(2021·青岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，__________. 给出下列三个条件： 条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；条