专题二 第一讲 等差数列、等比数列（课时作业）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

[A组　基础练] 一、单项选择题 1．(2021·陕西宝鸡模拟)将正奇数排成一个三角形数阵，按照如图的规律排列，则第15行第3个数为(　　) A．213　　　 B．215　　　　C．217　　　　D．219 解析：由题意得，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋…＋14＝＝105(个)数，则第15行第3个数是正奇数数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列{an}的第108项，易得a108＝1＋(108－1)×2＝215. 答案：B 2．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an(Sn－1)．设bn＝log2，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn≥5的最小正整数n的值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 解析：∵在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an(Sn－1)，∴S＝(Sn－Sn－1)(Sn－1)，∴－＝1. ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．∴＝1＋(n－1)×1＝n，解得Sn＝.又bn＝log2，∴bn＝log2， ∴数列{bn}的前n项和Tn＝log2＋log2＋log2＋…＋log2＋log2＝log2×××…××＝log2.由Tn≥5， 即log2 ≥5，得(n＋1)(n＋2)≥26，即n2＋3n－62≥0.令f(x)＝x2＋3x－62＝2－(x∈N*)，得函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∵f(6)＝－8＜0，f(7)＝8＞0，且x∈N*，∴n≥7.∴满足Tn≥5的最小正整数n的值为7. 答案：D 3．(2020·北京卷)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}(　　) A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 解析：设等差数列{an}的公差为d.由a1＝－9，a5＝－1，得d＝＝＝2，所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.由an＝2n－11＝0，得n＝.而n∈N*，所以数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．易知T1＝－9＜0，T2＝63＞0，T3＝－315＜0，T4＝945＞0为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小．所以数列{Tn}有最大项，无最小项． 答案：B 4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且(n＋1)Sn＝(7n＋23)Tn，则使得为整数的正整数n的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵数列{an}和{bn}均为等差数列，∴2an＝a1＋a2n－1,2bn＝b1＋b2n－1.由题意知＝，则＝＝＝＝＝＝7＋.验证知，当n＝1,2,4,8时，为整数，即使得为整数的正整数n的个数是4. 答案：C 5．(2021·吉林调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝3(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)(n∈N*)，a1a2a3＝8，则S8＝(　　) A．510 B．255 C．127 D．6 540 解析：设等比数列{an}的公比为q.由等比数列的性质，得a1a2a3＝a＝8，解得a2＝2.∵S2n＝3(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝3(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴a1q＋a3q＋a5q＋…＋a2n－1q＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，解得q＝2.又∵a2＝a1q＝2，∴a1＝1，∴S8＝＝＝255. 答案：B 6．(2021·湘豫名校联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则满足不等式≤的最大的n值等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：设等比数列{an}的公比为q.∵a5－a3＝12，∴a6－a4＝q·(a5－a3)＝24，∴q＝2， ∴a5－a3＝a1q4－a1q2＝12，∴12a1＝12， ∴a1＝1，∴Sn＝＝2n－1，an＝2n－1， ∴＝＝2－21－n≤， 从而21－n≥＝2－6，∴n≤7. 答案：C 7．设等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1＞1，a9a10－1＞0，＜0，则使Tn＞1成立的最大自然数n的值为(　　) A．9 B．10 C．18 D．19 解析：由a9a10－1＞0，即a·q＞1，得q＞0. ∵a1＞1，∴数列{an}的各项均为正数． ∵＜0，∴(a9－1)(a10－1)＜0，∴a9＞1，0＜a10＜1.∵T18＝a1·a2·a3·…·a18＝(a1a18)·(a2a17)·…·(a9a10)＝(a9a10