专题一 第二讲 三角恒等变换与解三角形基本问题（课时作业）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

[A组　基础练] 一、单项选择题 1．(2021·重庆第八中学月考)已知α为锐角，sin(α－15°)＝，则cos(2α＋15°)＝ (　　) A．－　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：由α为锐角，sin(α－15°)＝，知cos(α－15°)＝，cos(2α－30°)＝1－2sin2(α－15°)＝，∴sin(2α－30°)＝2sin(α－15°)cos(α－15°)＝，∴cos(2α＋15°)＝cos[(2α－30°)＋45°]＝cos(2α－30°)cos 45°－sin(2α－30°)sin 45°＝×－×＝－. 答案：B 2．(2021·山西大同学情调研)已知sin＝，且θ∈，则cos＝(　　) A．0 B. C．1 D. 解析：法一：由sin＝，且θ∈，得θ＝，∴cos＝cos 0＝1. 法二：由sin＝，且θ∈， 得cos＝， ∴cos＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝1. 答案：C 3.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图，在其中一个黄金三角形ABC中，＝.根据这些信息可得sin 234°＝(　　) A. B．－ C．－ D．－ 解析：由题意，得∠ACB＝72°，且cos∠ACB＝＝，∴cos 144°＝2cos272°－1＝2×2－1＝－，∴sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－. 答案：C 4．(2021·广东广州质量检测)已知α∈(0，π)，2sin(π－2α)＝cos 2α－1，则sin α＝(　　) A. B. C．－ D. 解析：由2sin(π－2α)＝cos 2α－1，得2sin 2α＝cos 2α－1， ∴4sin αcos α＝1－2sin2α－1，即2sin αcos α＝－sin2α. ∵α∈(0，π)，∴sin α≠0，∴2cos α＝－sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋sin2α＝1，∴sin2α＝. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴sin α＝. 答案：D 5．已知锐角α满足sin α＋cos α＝，则tan＝(　　) A．－ B. C．± D. 解析：法一：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即3sin2α＋cos2α＋2sin α·cos α＝， ∴＝， ∴＝.化简，得11tan2α＋50tan α－39＝0，解得tan α＝或tan α＝.又∵α为锐角， ∴tan α＞0，∴tan α＝， ∴tan＝＝. 法二：∵sin α＋cos α＝2＝ 2sin＝，∴sin＝.∵0＜α＜， ∴＜α＋＜.又∵sin＝＜，∴＜α＋＜， ∴cos＝， ∴tan＝. 答案：B 6．定义运算＝ad－bc.若＝－，sin α＝，α，β∈，则β＝(　　) A. B. C. D. 解析：由题意，得＝sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝－.∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜，∴cos(α－β)＝.又sin α＝，∴cos α＝，sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.∵β∈，∴β＝. 答案：B 7．(2021·宁夏银川一中月考)若＋＝，则sin αcos α＝(　　) A．－ B. C．－或1 D.或－1 解析：＋＝＝，给等号两边同时平方，得＝＝＝3，∴3(sin αcos α)2－2sin αcos α－1＝0， ∴sin αcos α＝－或sin αcos α＝1. ∵sin αcos α＝sin 2α∈， ∴sin αcos α＝－. 答案：A 8．(2021·江西景德镇一中月考)已知点(a,3)，(－3,3a)分别落在角α，α＋的终边上，则实数a的值为(　　) A. B．－ C.－ D.＋ 解析：由三角函数的定义可得cos α＝，sin α＝，cos＝＝－， sin＝＝.由两角差的余弦公式可得cos ＝cos＝coscos α＋sinsin α，即－＋＝，亦即＝，则有a＞0.整理，得a4－6a2＋9＝0，解得a＝. 答案：A 二、多项选择题 9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题正确的是(　　) A．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 B．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 C．若bcos