专题一 第三讲 三角函数与解三角形的综合问题（课时作业）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

[A组　基础练] 1．(2021·辽宁大连模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a－c)·(a2－b2＋c2)＝2abccos C. (1)求角B的大小； (2)若a＝1，b＝，求△ABC的面积． 解析：(1)由余弦定理a2－b2＋c2＝2accos B， 及(2a－c)(a2－b2＋c2)＝2abccos C， 得(2a－c)cos B＝bcos C. 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 化简得2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A. 因为sin A≠0，所以cos B＝. 又因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为＝，所以sin A＝＝. 因为a＜b，所以A＝，所以C＝. 所以S△ABC＝absin C＝×1×sin ＝. 2．在①3asin C＝4ccos A；②2bsin ＝asin B这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________，a＝3. (1)求sin A； (2)如图，M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求△ABC的面积． 解析：(1)若选择条件①， 在△ABC中，由正弦定理得3sin Asin C＝4sin Ccos A， 因为sin C≠0，所以3sin A＝4cos A，所以9sin2A＝16cos2A， 所以25sin2A＝16.因为sin A＞0，所以sin A＝. 若选择条件②，因为2bsin ＝asin B， 所以2bsin ＝asin B. 又由正弦定理和诱导公式得 2sin Bcos ＝sin Asin B， 因为sin B≠0，所以2cos ＝sin A. 又由二倍角公式得 cos ＝sin cos ， 因为cos ≠0，所以sin ＝， 所以cos ＝， 所以sin A＝2sin cos ＝. (2)法一：设BM＝MC＝m，易知cos∠BMC＝－cos∠BMA＝－sin A＝－.因为0＜∠BMC＜π， 所以sin∠BMC＝. 在△BMC中，由余弦定理得18＝2m2－2m2·， 解得m＝， 所以S△BMC＝m2sin∠BMC＝×5×＝. 在Rt△ABM中，sin A＝，BM＝，∠ABM＝， 所以AB＝，所以S△ABM＝. 所以S△ABC＝＋＝. 法二：因为MB＝MC，所以∠MBC＝∠C. 因为∠ABM＝，所以A＋2C＝，2C＝－A， 所以sin 2C＝sin＝cos A. 因为A为锐角，所以sin 2C＝cos A＝. 又＝＝＝， 所以b＝sin∠ABC，c＝sin C， 所以S△ABC＝bcsin A＝×sin∠ABC×sin C×＝sinsin C＝sin Ccos C＝sin 2C＝. 3．(2021·山东临沂模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin(B＋C)＋2coscos C＝0. (1)求证：B＝C； (2)若cos A＝，△ABC的外接圆面积为，求△ABC的周长． 解析：(1)证明：∵sin(B＋C)＋2coscos C＝0，∴sin(B＋C)－2sin Bcos C＝0， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C－2sin Bcos C＝0， ∴cos Bsin C－sin Bcos C＝0， ∴sin(B－C)＝0， ∴在△ABC中，B＝C. (2)设△ABC的外接圆半径为R，由已知得πR2＝， ∴R＝.∵cos A＝，0＜A＜π，∴sin A＝，∴a＝2Rsin A＝4. ∵B＝C，∴b＝c，由a2＝b2＋c2－2bc·cos A得16＝2b2－b2，解得b＝2，∴a＋b＋c＝4＋4，∴△ABC的周长为4＋4. 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小． 解析：(1)证明：由正弦定理得 sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B， 所以A＝2B. (2)由S＝得absin C＝， 故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B， 因sin B≠0，得sin C＝cos B. 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B. 当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝. 综上，A＝或A＝. [B组　创新练] 5．已知向量m＝，n＝.记f(x)＝m·n. (1)若f(α)＝，求cos的值；