2.3 分式方程-2022年中考数学总复习全优学案（全国通用）

2.3 分式方程 考点1 分式方程的概念与解法 1. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。 2. 分式方程的解法：转化 去分母 （1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 －－－－－→ 整式方程。 （2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质； ②解这个整式方程； ③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。 注意：① 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项； ② 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！ 考点2 分式方程解决问题 1. 列分式方程解应用题的步骤是： (1)审：审清题意；(2)找: 找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。 2. 基本上有五种： (1)行程问题 基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题：v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． 例1 下列方程不是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：A、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意； B、方程分母中不含有未知数x，不是分式方程，故本选项符合题意； C、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意； D、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意．故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 例2 在解分式方程时，第一步去分母，方程两边乘上最简公分母，乘上的最简公分母正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先找最简公分母，再化成整式方程，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】由4x2- 9= (2x+3)(2x-3)，另一个分母为2x+3， 故可得方程最简公分母为(2x+3)(2x-3)，即4x2- 9故选: C. 【点睛】本题考查的是解分式方程，最简公分母的确定时将分式方程转化为整式方程的第一步，因此要根据所给分母确定最简公分母. 例3 若关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A． B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6 【答案】B 【解析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围． 【详解】解：去分母得，2x－b＝3x－6，∴x＝6－b， ∵x≥0，∴6－b≥0，解得，b≤6， 又∵x－2≠0，∴x≠2，即6－b≠2，b≠4， 则b的取值范围是b≤6且b≠4，故选：B． 【点睛】本题考查解分式方程，根据方程的解列出关于b的不等式，解答本题时，要注意易漏掉分母不等于0这个隐含的条件． 例4 分式方程的解是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】首先把分式方程整理成整式方程，再按照解整式方程的步骤进行计算，最后再进行检验，即可得出答案． 【详解】解：去分母得：，去括号整理得：， 解得：，经检验：是原分式方程的根，故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验． 例5 已知关于x的方程的增根是x＝1，则字母a的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】把分式方程化为整式方程后，把x=1代入，即可求得结果． 【详解】解：方程两边同时乘以x（x-1）得：3x=x+a， 把x=1代入得：3×1=1+a，解得：a=2，故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义是解决问题的关键． 例6 关于的分式方程有正数解，则的取值范围__________． 【答案】且 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出a的范围． 【详解】解：去分母得： ，整理得：，解得：， ∵分式方程有正数解， ∴＞0，且，解得：a＞且，故答案为：a＞且． 【点睛】本题考查了分式方程的解，能根据已知和方程的解得出a的范围是解此题的关键．始终注意分母不为0这个条件． 例7 已知、是方程的两个实数根且满足，则的值为_______