上海市虹口区2021-2022学年高三上学期期末学生学习能力诊断测试（一模）数学试卷

虹口区2021学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学　试卷　　 　 （时间120分钟，满分150分） 2021.12 一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1．已知集合 ， ，则 ． 2．已知 是方程 的解，则实数 的值为_____________. 3．已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上单调递减，则 ． 4．已知无穷等比数列 的前 项的和为 ，首项 ，公比为 ，且 ，则 . 5．圆 的半径等于 ． 6．在 的二项展开式中，常数项等于　 　（结果用数值表示）． 7．已知角 、 、 是 的三个内角，若 ，则该三角形 的最大内角等于_______（用反三角函数值表示）. 8．已知 是定义域为 的奇函数，且对任意的 满足 ，若 时有 ，则 　 ． 9．已知抛物线 的焦点为 ， 、 为此抛物线上的异于坐标原点 的两个不同的点，满足 ，且 ，则 ． 10．如图，在棱长为 的正方体 中， 为底面 内（包括边界）的动点，满足：直线 与直线 所成角的大小为 ，则线段 扫过的面积为 ． 11． 已知实数 、 满足： ，则 的取值范围是 ． 12． 已知函数 ，若对任意实数 、 ，方程 EMBED Equation.KSEE3 有解，方程 EMBED Equation.KSEE3 也有解，则 的值的集合为 . 二．选择题（每小题5分，本大题满分20分） 13．设 ：实数 满足 ， ：实数 满足 ．那么 是 的…………（ ） 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件 14．设函数 ，其中 ， ．若 对任意的 恒成立，则下列结论正确的是…………………………………………………………（ ） EMBED Equation.DSMT4 的图像关于直线 对称 EMBED Equation.KSEE3 在 上单调递增 过点 的直线与函数 的图像必有公共点 15． 设等差数列 的前 项和为 ，如果 ，则……………………（ ） 且 EMBED Equation.KSEE3 且 EMBED Equation.KSEE3 且 EMBED Equation.KSEE3 且 16．已知 ， ，复数 （其中 为虚数单位）满足 ．给出下列结论： ① 的取值范围是 ； ② ； ③ 的取值范围是 ； ④ 的最小值为 . 其中正确结论的个数是…………………………………………………………………（ ） EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 三．解答题（本大题满分76分） 17．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分） 如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， . （1）求四棱锥 的体积； （2）求直线 与平面 所成的角的大小. 18．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分） 在平面直角坐标系 中， 在以原点 为圆心半径等于1的圆上，将射线 绕原点 逆时针方向旋转 后交该圆于点 ，设点 的横坐标为 ，纵坐标为 ． （1）如果 ， ，求 的值（用 表示）； （2）如果 ，求 的值． 19．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）7小题分） 某地政府决定向当地纳税额在 万元至 万元（包括 万元和 万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的 .设企业纳税额为 （单位：万元），补助款为 （单位：万元），其中 为常数． （1）分别判断 ， 时， 是否符合发放方案规定，并说明理由； （2）若函数 符合发放方案规定，求 的取值范围． 20．（本题满分16分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 交椭圆于 两点,交 轴于点 . （1）若 ，求 的值； （2）若点 在第一象限，满足 ，求 的值； （3）在平面内是否存在定点 ，使得 是一个确定的常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 21．（本题满分18分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分） 已知集合 ，