上海市金山区2022届高三上学期一模数学试卷

2021学年第一学期质量监控 高三数学试卷 (满分：150分，完卷时间：120分钟) （答题请写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合，，则 ． 2．函数的定义域是 ． 3．若复数满足(为虚数单位)，则 ． 4．的展开式中的系数为 ．(结果用数值表示) 5．已知，则行列式的值为 ． 6．某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ． 7．设为直线上的一点，且位于第一象限，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则点的坐标为 ． 8．已知，，且，则的最小值为 ． 9．有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ．(结果用最简分数表示) 10．已知、、、…、是抛物线上不同的点，点，若，则 ． 11．若数列满足…（，），则称数列为“阶相消数列”．已知“2阶相消数列”的通项公式为，记…，，，则当=___________时，取得最小值． 12．已知点、和，记线段的中点为，取线段和线段中的一条，记其端点为、，使之满足；记线段的中点为，取线段和线段中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点、、…、、…，则 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知，则“”是“”的 ( )． (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 14．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是 ( )． (A) (B) (C) (D) 15．如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以△为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为 ( )． (A) (B) (C) (D) 16．已知向量与的夹角为，且，向量满足()，且.记向量在向量与方向上的投影分别为、.现有两个结论：① 若，则；② 的最大值为，则正确的判断是 ( )． (A) ①成立，②成立 (B) ①成立，②不成立 (C) ①不成立，②成立 (D) ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形，点为半圆弧的中点，点为母线的中点. （1）求此圆锥的表面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数. （1）设是的反函数，若，求的值； （2）是否存在常数，使得函数为奇函数．若存在，求的值，并证明此时在上单调递增；若不存在，请说明理由. 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 落户上海的某休闲度假园区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点处，出口在点处.游客可从入口沿着观景通道到达出口，其中米，米,也可以沿便捷通道到达出口（为内一点）. （1）若是以为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟） （2）园区计划将区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由. 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于、两点(点位于、两点之间)，为坐标原点. （1）当直线的倾斜角为时，求直线的斜率； （2）当△的面积为时，求点的横坐标； （3）设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知有穷数列的各项均不相等，将的项