第04讲 平面直角坐标轴上的规律题 -【专题突破】2021-2022学年八年级数学上册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第04讲 平面直角坐标轴上的规律题 1.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称（ ）坐标相等，（ ）坐标互为相反数； 点P与点p’关于y轴对称（ ）坐标相等，（ ）坐标互为相反数； 点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数; 2.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的（ ）坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的（ ）坐标相同。 3. 当两个函数的k相等时，则两个函数图像互相平行。 例题1 如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点平移至点A2021时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意得出前若干个点的坐标，得到规律，利用规律解决问题即可． 【详解】 解：由题意，A1（-1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2，4），...，A2n-1（-2+n，n）， ∴A2021（1009，1011）， 故选：C． 【点睛】 本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 例题2 如图,直线l:,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去,则点A2015的坐标为( ) A．(0，) B．(0, ) C．(0, ) D．(0, ) 【答案】A 【分析】 根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2015标即可． 【详解】 解：∵直线l的解析式为：， ∴直线l与x轴的夹角为30°， ∵AB∥x轴， ∴∠ABO=30°， ∵OA=1， ∴AB=， ∵A1B⊥l， ∴∠ABA1=60°， ∴AA1=3， ∴A1（0，4）， 同理可得A2（0，16）， …， ∴A2015纵坐标为：42015， ∴A2015（0，42015）． 故选：A． 【点睛】 本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键． 例题3 如图，放置的△OAB,△,△,…都是边长为2的等边三角形，边AO在轴上，点、、… 都在直线上，则点的坐标为_______ 【答案】（，2021） 【分析】 延长A1B1交x轴于C，可证A1B1⊥x轴，由条件可求得∠B1OC=30°，利用直角三角形的性质可求得B1C=1，OC=，可求得B1的坐标，进而可求得A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，则可得出规律，求得A2019的坐标． 【详解】 解：如图，延长A1B1交x轴于C， ∵△OAB,△,△,…是等边三角形，且边长为2， ∴∠AOB1=60°，OB1=2， ∴∠B1OC=30°，=60°， ∴∠OB1C=60°， ∴∠OCB1=90°， 在Rt△B1OC中，可得B1C=1，OC=， ∴B1的坐标为（，1）， ∴A1的坐标为（，3）， 同理A2（2，4）、A3（3，5）， ∴An的坐标为（n，n+2）， ∴A2019的坐标为（2019，2021）， 故答案为：（2019，2021）． 【点睛】 本题为规律型题目-点坐标规律探究，利用等边三角形和直角三角形的性质求得A1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键． 如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2，P3，…均在直线y＝﹣x+4上，设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…依据图形所反映的规律，S2019＝_____． 【答案】. 【分析】 分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】 解：如图，分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E， ∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形， ∴OC＝CA1＝P1C＝3， 设A1D＝a，则P2D＝a， ∴OD＝6+a， ∴点P2坐标为（6+a，a）， 将点P2坐标代入y＝﹣x+4，得：﹣（6+a）+4＝a， 解得：a＝， ∴A1A2＝2a＝3，P2D＝， 同理求得P3E＝ 、A2A3＝， ∵S1＝×6×3＝9、S2＝×3×、S3＝、…… ∴S2019＝． 故答案为． 【点睛】 本题考查规律型：点