第02讲 实数 -【专题突破】2021-2022学年八年级数学上册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第02讲 实数 1.实数 有理数和无理数统称为实数。 2. 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数 如π=3.1415926…， ，－1.010010001…，都是无理数。 对无理数概念的理解主要抓住以下几点 ①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ② 凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如、等。 3. 确定一个无理数的整数部分、小数部分的方法 确定一个无理数的整数部分，一般采用估算法估算到个位，确定其小数部分，首先确定其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分即是小数部分。 4. 在数轴上表示无理数 每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的因此，数轴正好可以被实数填满。 在数轴上找到确定的无理数的点一般是构造直角三角形，借助勾股定理求解。 5．平方根的概念 如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根， 也叫二次方根。即若，则就称为的平方根。 6．平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②零有一个平方根，它是零本身； ③负数没有平方根。 7．平方根的表示方法 一个正数的正的平方根，用符号“”表示，叫做被开方数， 2叫做根指数；正数的负平方根用符号“”表示，根指数是2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作。 8．算术平方根 正数的正的平方根，也叫做的算术平方根，记作（）， 0的平方根叫做0的算术平方根。因此，0的算术平方根为0，即。 9．开平方的小数点移动规律 如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 10．立方根 定义 如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根（也称作的三次方根）． 即：若，则称为的立方根，记作，其中是被开方数，3是根指数． 11．表示方法 的立方根表示为“”，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数． 注意：这里的“3”不能省略． 12.性质 任何数都有立方根，且只有一个立方根（这与平方根的性质不同）． 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 例题1 (1)4的算术平方根是（ ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 试题分析：因，根据算术平方根的定义即可得4的算术平方根是2．故答案选B． 考点：算术平方根的定义． (2)的平方根是____． 【答案】±3 【详解】 ∵=9， ∴9的平方根是. 故答案为3. 例题2 下列判断正确的是（ ） A． B．的算术平方根是3 C．27的立方根是±3 D．正数a的算术平方根是 【答案】D 【分析】 根据算术平方根、立方根的定义依次判断即可得． 【详解】 解：A．，此选项错误； B．9的算术平方根是3，此选项错误； C．27的立方根是3，此选项错误； D．正数a的算术平方根是，此选项正确； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查立方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、算术平方根的定义． 例题3 （1）若有意义，则a能取的最小整数为（　　） A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣8 【答案】B 【分析】 直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】 解：有意义，则， 解得：， 故能取的最小整数为：． 故选：． 【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． （2）函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【分析】 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】 解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】 此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 例题4 （1）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】 A.=，故不是最简二次根式； B.是最简二次根式； C.=2，故不是最简二次根式； D. =，故不是最简二次根式； 故选B． 【点睛】 此题主要考查最简二次根式的判断，解题的关键是熟知最简二次根式的定义． （2）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据二次根式的性质计算解即可． 【详解】 A．＝9，此选项错误； B．=-1，此选项正确； C．（﹣）2＝2，此选项错误； D．＝5，此选项错误； 故选B． 【点睛】 本题主要考查二次根式的化简，是掌握二次根式的性质是解题的关键． 例题5 在给出的一组数，，，，，中，是无理数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】 分别根据无理数、有理数的定义即可判定