2.1&2.2认识无理数&平方根（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

八年级上册数学《第2章 实数》 2.1&2.2认识无理数&平方根 知识点一 无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点二 算术平方根的定义和性质 ★1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ★2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ★3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ★4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 知识点三 平方根的定义和性质 ★1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ★2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ★3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ★4、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 ★5、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 题型一 无理数的识别 解题技巧提炼 （1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数； （2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环. 1．（2024春•廉江市期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（2023秋•莱州市期末）下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C．0.1010010001… D．π﹣3.14 3．（2024春•黄埔区期末）下列各数中为无理数的是（　　） A． B．6 C．3.14 D． 4．（2024•舞阳县二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．1.5 5．（2024春•无为市期末）在下列各数：﹣4，，，4π，0.010203040⋯（小数点后的两个0之间分别是逐渐增加的正整数）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列说法错误的有（　　） ①无限小数是无理数； ②无理数都是带根号的数； ③只有正数才有平方根； ④3的平方根是； ⑤﹣2是（﹣2）2的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．2 D．5 8．（2023秋•碑林区校级期末）在实数﹣2，，，，中的无理数是　 　． 题型二 求一个数的算术平方根 解题技巧提炼 根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数. 1．（2024春•泸州期末）的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•灞桥区校级模拟）81的算术平方根为（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 3．（2024春•平坝区月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•招远市模拟）的算术平方根是（　　） A．4 B．±4 C．2 D．±2 5．（2024春•禹城市校级月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C．﹣42＝16 D．|﹣4|＝﹣4 6．（2023秋•鼓楼区校级期末）若3.5﹣x，则x的值不能是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2023春•老河口市月考）设x＝﹣22，y，那么xy等于（　　） A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 8．（2024春•禹城市校级月考）有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入的x＝16时，输出y的值是（　　） A．4 B． C． D．2 9．求下列各数的算术平方根： （1）0.49； （2）； （3）2； （4）32． 10．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三 算术平方根的非负性 解题技巧提炼 1、 算术平方根具有双重非负性,即被开方数a≥0且≥0， 中隐含条件 a≥0要灵活运用. 2、几个非负数的和为0，其中的每一个非负数都必须等于0. 1．（2023秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）20，则a+b的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0 2．（2023秋•蓝山县期末）若，则ab的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 3．（2023秋•城关区校级期末）已知|m﹣2|0，则代数式2m+n的值是（　　） A．5 B．3 C．2 D．﹣1 4．（2023秋•道县期末）若a，b为实数，且，则（ab）2024的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 5．（2024春•安顺期末）已知，求x+y的值 　 　． 6．（2024春•永川区期末）若|x2﹣25|0，则xy＝　 　． 7．（2024春•东昌府区校级月考）若实数m，n满足，则m2+n2的平方根是 　． 8．（2024春•泗水县校级月考）△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足，则△ABC的形状为 　 　． 9．（2024春•海淀区校级期中）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0． （1）求a和b的值； （2）求2a+10b的平方根． 10．（2024春•凉州区期中）已知a满足． （1）求a，b的值； （2）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，请化简． 题型四 算术平方根的实际应用 解题技巧提炼 算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明. 1．（2022春•景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t，若球的起始高度为120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（　　） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 2．（2023秋•义乌市期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为27cm2，则这个长方形的周长 为 　 　cm． 3．（2023秋•小店区校级月考）已知刹车距离的计算公式，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得d＝16m，f＝2.25，而发生交通事故的路段限速为100km/h，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶． 4．（2023春•顺义区期末）公园里有一个边长为8米的正方形花坛，如图所示，现在想扩大花坛的面积．要使花坛的面积增加80平方米后仍然是正方形，求边长应该延长多少米？ 5．（2024春•金湾区期末）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片． （1）小正方形纸片的边长为 　 cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 6．（2024春•西城区校级期中）母亲节要到了，小华给妈妈准备了一张正方形贺卡，面积为100cm2，还配了一个漂亮的长方形信封，长宽比为5：3，面积为150cm2，他能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明理由． 7．（2023秋•承德县期末）小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 8．（2023春•云梦县期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． （1）求该长方形的长宽各为多少？ （2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 题型五 平方根及算术平方根的认识 解题技巧提炼 ±（a≥0）表示非负数的a的平方根，（a≥0）表示非负数a的算术平方根. 1．（2023春•鹿泉区校级期中）下列说法：①25的平方根是±5；②（﹣7）2的算术平方根是7；③若a的平方根是±9，则a＝81．其中正确的说法是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（2024春•长寿区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C．﹣1 的平方根是﹣1 D．0.1是0.01的一个平方根 3．（2023秋•张店区期末）下列语句不正确的是（　　） A．0的平方根是0 B．正数的两个平方根互为相反数 C．﹣22的平方根是±2 D．a是a2的一个平方根 4．（2023秋•江安县期中）下列说法正确的是（　　） A．﹣4的平方根是±2 B．﹣4的算术平方根是﹣2 C．的平方根是±4 D．0的平方根与算术平方根都是0 5．（2023秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是±3 C．是的一个平方根 D．9的平方根是±3 6．（2023春•铁东区校级月考）下列说法： ①0.2； ②±， ③0.01是0.1的平方根； ④的算术平方根是； ⑤﹣32的平方根是±3． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2 8．（2023秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（　　） A．± B．a﹣1 C．a2﹣1 D．± 题型六 求一个数的平方根 解题技巧提炼 本题运用了定义法，求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方根. 1．（2022秋•鹤壁期末）49的平方根是（　　） A．±7 B．7 C．﹣7 D．不存在 2．（2024春•赵县期末）下列说法正确的是（　　） A．3的平方根是 B． C． D．的算术平方根是6 3．（2024春•甘井子区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•康县模拟）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．2 5．（2024春•巫山县期末）|﹣4|的平方根是 　 ． 6．（2024•淄川区二模）若与5x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根为 　 　． 7．求下列各数的平方根： （1）121； （2）2； （3）（﹣13）2； （4）． 8．（2023•成武县开学）求下列各数的平方根： （1）121； （2）； （3）（﹣13）2； （4）﹣（﹣4）3． 9．求下列各式的值： （1）； （2）±； （3）； （4）±． 10．求下列各数的平方根． （1）81；（2）1.96；（3）30；（4）；（5）（﹣1）2；（6）． 题型七 利用平方根或算术平方根的定义求值 解题技巧提炼 运用平方根及算术平方根的定义列方程求解，运用方程的思想求相关待定字母的值是数学中常用的方法. 1．（2023秋•邵阳期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1 2．（2022•游仙区校级二模）若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8 3．（2024春•城厢区校级期中）设一个正数的两个平方根是a﹣1和a+5，则这个正数为 　 ． 4．（2024春•北京期末）的平方根是 　 　． 5．（2024春•高坪区校级月考）如果a，b分别是2023的两个平方根，那么　 　． 6．（2023秋•靖远县期末）已知2a﹣1的平方根是±3，4a+2b﹣1的算术平方根是4，求3a+b的值． 7．（2022春•仁怀市校级月考）（1）一个非负数的平方根是2a﹣1和a﹣5，这个非负数是多少？ （2）已知a﹣1和5﹣2a都是m的平方根，求a与m的值． 8．（2023春•西陵区校级期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+2b的算术平方根为5， （1）求a，b的值； （2）求4a﹣6b的平方根． 9．（2023秋•高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|0，求a+3b+c的算术平方根． 10．（2023春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5． （1）求a，b的值； （2）求4a﹣6b的平方根． 题型八 利用平方根解方程 解题技巧提炼 先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值. 1．（2024春•韩城市校级月考）求下列各式中x的值： （1）4x2＝1； （2）x2﹣16＝0． 2．（2023春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值． （1）169x2＝100； （2）（x+1）2＝81． 3．（2023秋•鼓楼区期末）求下列各式中的x： （1）4x2＝1； （2）（x﹣1）2﹣27＝0． 4．（2024春•旌阳区校级月考）求下列式子中x的值． （1）x2＝49； （2）4（x﹣1）2＝169； 5．已知a，b满足|a﹣4|0，解关于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝5b． 6．（2023秋•银川月考）求下列各式中的x： （1）3（x﹣1）2＝363； （2）3（x+2）2﹣81＝0． 7．求下列各式中的x： （1）9x2﹣25＝0； （2）（x+1）2+8＝72； （3）2（x﹣1）2﹣32＝0． 8．（2024春•思明区校级月考）求下列各式中x的值． （1）x2＝4； （2）x2﹣81＝0； （3）25x2＝36； （4）（x﹣1）2﹣169＝0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《第2章 实数》 2.1&2.2认识无理数&平方根 知识点一 无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 知识点二 算术平方根的定义和性质 ★1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ★2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ★3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ★4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 知识点三 平方根的定义和性质 ★1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ★2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ★3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ★4、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 ★5、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 题型一 无理数的识别 解题技巧提炼 （1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数； （2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环. 1．（2024春•廉江市期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】无理数指无限不循环小数，逐项判断即可． 【解答】解：A.2024是整数，属于有理数，此项不符合题意； B．﹣2024是整数，属于有理数，此项不符合题意； C.开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，此项符合题意； D.是分数，属于有理数，此项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查无理数的概念，熟记概念是解题的关． 2．（2023秋•莱州市期末）下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C．0.1010010001… D．π﹣3.14 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：，0.1010010001…，π﹣3.14都是无限不循环小数，它们均为无理数； 是分数，它不是无理数； 故选：B． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2024春•黄埔区期末）下列各数中为无理数的是（　　） A． B．6 C．3.14 D． 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：6是整数，3.14是有限小数，是分数，它们不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：A． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024•舞阳县二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．1.5 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：，1.5是分数，0是整数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：C． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 5．（2024春•无为市期末）在下列各数：﹣4，，，4π，0.010203040⋯（小数点后的两个0之间分别是逐渐增加的正整数）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：含有π的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数，如0.010203040⋯（小数点后的两个0之间分别是逐渐增加的正整数）． 【解答】解：无理数有；（小数点后的两个0之间分别是逐渐增加的正整数），共3个， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数，掌握无理数的概念，常见无理数的形式是解题的关键． 6．下列说法错误的有（　　） ①无限小数是无理数； ②无理数都是带根号的数； ③只有正数才有平方根； ④3的平方根是； ⑤﹣2是（﹣2）2的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得无理数，可判断①②；根据平方根，可判断③④⑤． 【解答】解：①无限循环小数是有理数，故①错误； ②无限不循环小数是无理数，故②错误； ③0的平方根是0，故③错误； ④3的平方根是±，故④错误； ⑤±，故⑤正确， 故选：D． 【点评】本题考查了无理数，注意无理数是无限不循环小数． 7．（2023秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．2 D．5 【分析】有理数是整数与分数的统称，找出其中的有理数，即可确定a的值；无理数是无限不循环小数，π及含有π的数，开方开不尽的数都是无理数，对于带根号的数，首先要看是否是最简形式，再判断，据此确定出无理数的个数，即可得到b的值；接下来将a、b的值代入待求式进行计算，即可使问题解答． 【解答】解：是有理数，有4个，即a＝4， 是无理数，有2个，即b＝2， 则a﹣b＝4﹣2＝2． 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数与无理数的概念，重点在对所给的数进行区别，防止因为根号而影响判断． 8．（2023秋•碑林区校级期末）在实数﹣2，，，，中的无理数是　 　． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【解答】解：﹣2，，，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 无理数是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 题型二 求一个数的算术平方根 解题技巧提炼 根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数. 1．（2024春•泸州期末）的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：的算术平方根是， 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2024•灞桥区校级模拟）81的算术平方根为（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵92＝81， ∴81的算术平方根为9． 故选：D． 【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 3．（2024春•平坝区月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义逐一计算进行判断即可． 【解答】解：A． ，此选项错误，不合题意； B． ，此选项错误，不合题意； C． ，此选项正确，符合题意， D． ，此选项错误，不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握其相关的概念． 4．（2024•招远市模拟）的算术平方根是（　　） A．4 B．±4 C．2 D．±2 【分析】先计算的值，再根据算术平方根的定义求解． 【解答】解：∵4，4的算术平方根2， ∴的算术平方根是2， 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 5．（2024春•禹城市校级月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C．﹣42＝16 D．|﹣4|＝﹣4 【分析】由一个正数的算术平方根为正数可判断A选项； 由一个正数的算术平方根的相反数是一个负数，可判断B选项； 由有理数乘方运算法则及相反数的意义可判断C选项； 求一个数的绝对值，可判断D选项． 【解答】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、﹣42＝﹣16，故此选项错误，不符合题意； D、|﹣4|＝4，故此选项错误，不符合题意． 故答案为：B． 【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的短语是关键． 6．（2023秋•鼓楼区校级期末）若3.5﹣x，则x的值不能是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据算术平方根是非负数得出3.5﹣x≥0，即可求出x的取值范围，从而进行判断． 【解答】解：若3.5﹣x， 则3.5﹣x≥0， 解得x≤3.5， ∴x的值不能是4， 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根，熟知一个非负数的算术平方根为非负数是解题的关键． 7．（2023春•老河口市月考）设x＝﹣22，y，那么xy等于（　　） A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 【分析】根据算术平方根以及有理数乘方的定义求出x、y的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵x＝﹣22，y， ∴x＝﹣4，y＝3， ∴xy＝﹣4×3＝﹣12， 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根，有理数的乘方，理解算术平方根的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的前提． 8．（2024春•禹城市校级月考）有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入的x＝16时，输出y的值是（　　） A．4 B． C． D．2 【分析】根据数值转换器，输入x＝16，进行计算，一直到是无理数则输出即可． 【解答】解：当输入的x＝16时， 第一次计算，，为有理数， 第二次计算，为有理数， 第三次计算，为无理数， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． 9．求下列各数的算术平方根： （1）0.49； （2）； （3）2； （4）32． 【分析】如果一个正数的平方等于a，这个数就叫做a的算术平方根，由此即可求解． 【解答】解：（1）∵0.72＝0.49， ∴0.49的算术平方根是0.7； （2）9 ∵32＝9， ∴的算术平方根是3； （3）2 ∵， ∴2的算术平方根是； （4）∵（3）2＝32， ∴32的算术平方根是3． 【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义． 10．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】根据算术平方根的定义计算即可．注意：． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点评】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键． 题型三 算术平方根的非负性 解题技巧提炼 1、 算术平方根具有双重非负性,即被开方数a≥0且≥0， 中隐含条件 a≥0要灵活运用. 2、几个非负数的和为0，其中的每一个非负数都必须等于0. 1．（2023秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）20，则a+b的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0 【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解． 【解答】解：∵（a﹣1）20， （a﹣1）2≥0，0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， 则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法法则是解题的关键． 2．（2023秋•蓝山县期末）若，则ab的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】先运用非负数的性质求得a，b的值，再代入求解． 【解答】解：由题意得， 2a﹣4＝0，b+1＝0， 解得a＝2，b＝﹣1， ∴ab＝2×（﹣1）＝﹣2， 故选：A． 【点评】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行运算． 3．（2023秋•城关区校级期末）已知|m﹣2|0，则代数式2m+n的值是（　　） A．5 B．3 C．2 D．﹣1 【分析】根据绝对值和算术平方根不可能为负数，得到m﹣2＝0，n﹣1＝0，解得m、n的值，然后代入2m+n即可求解． 【解答】解：∵ ∴m﹣2＝0，n﹣1＝0， 解得：m＝2，n＝1． 将m＝2，n＝1代入2m+n，得：2m+n＝2×2+1＝5． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解答此题的关键是根据绝对值和算术平方根不可能为负数，解得m、n的值． 4．（2023秋•道县期末）若a，b为实数，且，则（ab）2024的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 【分析】根据绝对值与算术平方根的和为零，可得绝对值与算术平方根同时为零，可得a、b的值，即可得到答案 【解答】解：由题可知，， 则a+2＝0，b0， 即a＝﹣2．b， 所以（ab）2024＝（﹣1）2024＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质，利用绝对值与算术平方根的和为零得出绝对值与算术平方根同时为零是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数． 5．（2024春•安顺期末）已知，求x+y的值 　 　． 【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性分别求出x、y，代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣2＝0，3y﹣13＝0， ∴x＝2，， ∴， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了两种形式的非负数的性质，能够利用非负数的性质得到关于未知数的方程是解题的关键． 6．（2024春•永川区期末）若|x2﹣25|0，则xy＝　 　． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得：x＝5或﹣5， y＝3， 则当x＝5，y＝3时，xy＝125， 当x＝﹣5，y＝3时，xy＝﹣125． 故答案为：125或﹣125． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 7．（2024春•东昌府区校级月考）若实数m，n满足，则m2+n2的平方根是 　． 【分析】根据偶次方的性质和算术平方根的非负性得出m，n的值，再根据平方根的定义即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴m﹣4＝0，n+3＝0， ∴m＝4，n＝﹣3， ∴±±±±5． 故答案为：±5． 【点评】此题考查平方根和算术平方根的非负性，偶次方的非负性，能求出m、n的值是解此题的关键． 8．（2024春•泗水县校级月考）△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足，则△ABC的形状为 　 　． 【分析】先根据算术平方根以及绝对值的非负性，先据此得出a＝b，a2+b2＝c2，再根据勾股逆定理作出判断，即可作答． 【解答】解：∵， ∴， ∴a＝b，a2+b2＝c2， ∵△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴则△ABC的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，算术平方根，绝对值的非负性以及偶次方的非负数，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 9．（2024春•海淀区校级期中）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0． （1）求a和b的值； （2）求2a+10b的平方根． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）由题可知， ， 解得， 则a＝﹣2，b＝4． （2）2a+10b＝﹣2×2+10×4＝36， 故2a+10b的平方根为±6． 【点评】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 10．（2024春•凉州区期中）已知a满足． （1）求a，b的值； （2）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，请化简． 【分析】（1）根据完全平方式和绝对值的非负性质求出a、b的值即可； （2）利用三角形的三边关系化简即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b＝5，a＝1； （2）∵a、b、c为三角形的三边长， ∴4＜c＜6， ∴5﹣2c＜0，c﹣7＜0， ＝2c﹣5﹣|c﹣7| ＝2c﹣5+c﹣7 ＝3c﹣12． 【点评】本题考查了非负数的性质及三角形的三边关系，熟知任意一个数的绝对值或偶次方都是非负数以及三角形三边关系是解答此题的关键． 题型四 算术平方根的实际应用 解题技巧提炼 算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明. 1．（2022春•景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t，若球的起始高度为120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（　　） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【分析】将h＝120代入计算得到t的值，再利用无理数的估算即可得出结论． 【解答】解：∵h＝120米， ∴t． ∵与5最接近， ∴球落地所用时间t与5秒最接近， 故选：C． 【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，正确利用无理数的估算解答是解题的关键． 2．（2023秋•义乌市期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为27cm2，则这个长方形的周长 为 　 　cm． 【分析】设长方形的宽是x cm，则长为3x cm，根据长方形面积列方程即可求出x，进而求出长方形的周长． 【解答】解：设长方形的宽是x cm，则长为3x cm， ∵长方形的面积为27cm2， ∴3x2＝27， ∴x＝3或﹣3（舍）， ∴长方形的宽为3cm，长为9cm， ∴其周长为（9+3）×2＝24（cm）． 故答案为：24． 【点评】本题考查平方根的实际应用，解题关键是熟练掌握长方形的周长和面积公式． 3．（2023秋•小店区校级月考）已知刹车距离的计算公式，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得d＝16m，f＝2.25，而发生交通事故的路段限速为100km/h，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶． 【分析】根据题意将d与f代入求出v，再与限速进行比较看是否违规行驶即可． 【解答】解：由题可知，得d＝16m，f＝2.25， 代入， 得v＝161616×6＝96（km/h ）， 又知96km/h＜100km/h， 故肇事汽车不存在违规行驶． 【点评】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解题意是解题的关键． 4．（2023春•顺义区期末）公园里有一个边长为8米的正方形花坛，如图所示，现在想扩大花坛的面积．要使花坛的面积增加80平方米后仍然是正方形，求边长应该延长多少米？ 【分析】设边长应该延长x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x+8）米，则其面积为（64+80）平方米，然后根据正方形的面积为（x+8）2＝（64+80）平方米可得到答案． 【解答】解：设边长应该延长x米，根据题意，得 （x+8）2＝64+80， （x+8）2＝144， ∴x+812（负值舍去）， ∴x＝4， 答：边长应该延长4米． 【点评】本题考查了算术平方根的应用．能够正确得出关系式（x+8）2＝（64+80）是解题的关键． 5．（2024春•金湾区期末）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片． （1）小正方形纸片的边长为 　 cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【分析】（1）由正方形的面积公式即可求解； （2）设长方形纸片的长和宽分别是4x cm，3x cm，得到3x•4x＝24，求出x的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）根据题意，大正方形的边长为4， 大正方形的边长是小正方形的对角线， ∴小正方形的边长为42． 故答案为：2． （2）不能，理由如下： ∵长方形长宽之比为2：1， ∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm， ∴2x•x＝12， ∴x2＝6， ∵x＞0， ∴x， ∴， ∵， ∴4． ∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形． 【点评】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽． 6．（2024春•西城区校级期中）母亲节要到了，小华给妈妈准备了一张正方形贺卡，面积为100cm2，还配了一个漂亮的长方形信封，长宽比为5：3，面积为150cm2，他能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【分析】设长方形信封的长为5x cm，则宽为3x cm，根据长方形信封的面积为150平方厘米，即可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，进而可得出长方形信封的宽，由正方形贺卡的面积可求出贺卡的边长，将长方形信封的宽与正方形贺卡的边长比较后即可得出结论． 【解答】解：小芳不能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由如下： 设长方形信封的长为5x cm，宽为3x cm， ∵长方形面积为150cm2， ∴5x•3x＝150， ∴x2＝10， 解得或（舍去）， ∴长方形的长和宽分别为， ∵正方形贺卡的面积为100cm2， ∴正方形贺卡的边长为， ∵， ∴， ∴长方形信封的宽小于正方形贺卡的边长， ∴小芳不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，通过利用平方根解方程，找出信封的宽及贺卡的边长是解题的关键． 7．（2023秋•承德县期末）小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【分析】（1）设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm，由长方形的面积可求出x的值，从而求出长方形信封的长和宽； （2）先计算出正方形贺卡的边长，然后与长方形信封的宽进行比较，得出结论． 【解答】解：（1）设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm， 由题意得3x•2x＝420， ∴， ∴，， 答：长方形信封的长为，宽为； （2）面积为256cm2的正方形贺卡的边长是16cm， ∵70＞64， ∴， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的运算是解题的关键． 8．（2023春•云梦县期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． （1）求该长方形的长宽各为多少？ （2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为7：4设长为7x米，宽为4x米，以面积为700平方米作等量关系列方程．用求算术平方根方法解得x的值． （2）设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，根据面积之和为600m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【解答】解：（1）设该长方形花坛长为7x米，宽为4x米， 依题意得：7x×4x＝700， x2＝25， ∴x＝5（﹣5不合题意舍去） ∴7x＝35，4x＝20， 答：该长方形的长35米，宽20米； （2）设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，依题意有 （4y）2+（3y）2＝600， 25y2＝600， y2＝24， y， 4y， ， ∵35，， ∴能改造出这样的两块不相连的正方形试验田； ，（35+20）×2＝110， ∵， ∴原来的铁栅栏围墙不够用． 【点评】本题考查了算术平方根，长方形，正方形的性质的应用，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问题． 题型五 平方根及算术平方根的认识 解题技巧提炼 ±（a≥0）表示非负数的a的平方根，（a≥0）表示非负数a的算术平方根. 1．（2023春•鹿泉区校级期中）下列说法：①25的平方根是±5；②（﹣7）2的算术平方根是7；③若a的平方根是±9，则a＝81．其中正确的说法是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】根据平方根和立方根的定义作出判断即可． 【解答】解：①、25的平方根是±5，即，故说法①正确； ②、（﹣7）2＝49，49的算术平方根是7，故说法②正确； ③、由于a的平方根是±9，故a＝（±9）2＝81，故说法③正确． 故正确的有：①②③． 故选：D． 【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解答本题的关键． 2．（2024春•长寿区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C．﹣1 的平方根是﹣1 D．0.1是0.01的一个平方根 【分析】根据平方根的定义及性质逐项判断即可． 【解答】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意； 1的平方根是±1，则B不符合题意； ﹣1没有平方根，则C不符合题意； 0.1是0.01的一个平方根，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2023秋•张店区期末）下列语句不正确的是（　　） A．0的平方根是0 B．正数的两个平方根互为相反数 C．﹣22的平方根是±2 D．a是a2的一个平方根 【分析】根据平方根及相反数的定义对各选项进行逐一解答即可． 【解答】解：A、0的平方根是0，故本选项正确，不符合题意； B、一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数，故本选项正确，不符合题意； C、﹣22＝﹣4，没有平方根，故本选项错误，符合题意； D、a是a2的一个平方根，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是平方根及相反数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键． 4．（2023秋•江安县期中）下列说法正确的是（　　） A．﹣4的平方根是±2 B．﹣4的算术平方根是﹣2 C．的平方根是±4 D．0的平方根与算术平方根都是0 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．﹣4没有平方根，因此选项A不符合题意； B．﹣4没有平方根，也没有算术平方根，因此选项B不符合题意； C.的平方根，即4的平方根，4的平方根为±2，因此选项C不符合题意； D.0的平方根和算术平方根都是0，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确判断的前提． 5．（2023秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是±3 C．是的一个平方根 D．9的平方根是±3 【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，根据平方根的意义解题即可． 【解答】解：A．的平方根是，该选项正确，故本选项不符合题意； B．的平方根是，该选项错误，故本选项符合题意； C．是的一个平方根，该选项正确，故本选项不符合题意； D．9的平方根是±3，该选项正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键． 6．（2023春•铁东区校级月考）下列说法： ①0.2； ②±， ③0.01是0.1的平方根； ④的算术平方根是； ⑤﹣32的平方根是±3． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：①.0.2，因此①不正确； ②，因此②不正确； ③0.1是0.01的一个平方根，因此③不正确； ④5，而5的算术平方根是，因此④正确； ⑤﹣32＝﹣9，由于负数没有平方根，因此⑤不正确； 综上所述，正确的结论有④，共1个， 故选：A． 【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提． 7．（2023秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2 【分析】依据平方根的定义得到x+4＝2或x+4＝﹣2，从而可求得x的值． 【解答】解：∵x+4是4的一个平方根， ∴x+4＝2或x+4＝﹣2， ∴解得：x＝﹣2或x＝﹣6． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 8．（2023秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（　　） A．± B．a﹣1 C．a2﹣1 D．± 【分析】由一个自然数的一个平方根是a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可． 【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a， ∴这个自然数是a2， ∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1， ∴与这个自然数相邻的上一个自然数的平方根是±， 故选：D． 【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提． 题型六 求一个数的平方根 解题技巧提炼 本题运用了定义法，求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方根. 1．（2022秋•鹤壁期末）49的平方根是（　　） A．±7 B．7 C．﹣7 D．不存在 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵（±7）2＝49， ∴49的平方根为±7， 故选：A． 【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提． 2．（2024春•赵县期末）下列说法正确的是（　　） A．3的平方根是 B． C． D．的算术平方根是6 【分析】根据算术平方根与平方根的性质即可得． 【解答】解：A．3的平方根是，故选项错误； B．，故选项正确； C．，故选项错误； D．的算术平方根是，故选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握算术平方根与平方根的性质是解题关键． 3．（2024春•甘井子区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用算术平方根及平方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：6，则A不符合题意； 0.9，则B不符合题意； ±±7，则C符合题意； 3，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024•康县模拟）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．2 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：4，4的平方根是±2． 故选：C． 【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 5．（2024春•巫山县期末）|﹣4|的平方根是 　 ． 【分析】根据平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：|﹣4|＝4，其平方根是±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 6．（2024•淄川区二模）若与5x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根为 　 　． 【分析】根据题意求得a，b的值后代入（a+b）2中计算，利用平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：∵与5x3yb的和是单项式， ∴a＝3，b＝1， 则（a+b）2＝（3+1）2＝16， 那么（a+b）2的平方根是±4， 故答案为：±4． 【点评】本题考查合并同类项及平方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． 7．求下列各数的平方根： （1）121； （2）2； （3）（﹣13）2； （4）． 【分析】根据开平方，可得答案． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）∵， ∴的平方根是． 【点评】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数． 8．（2023•成武县开学）求下列各数的平方根： （1）121； （2）； （3）（﹣13）2； （4）﹣（﹣4）3． 【分析】（1）直接利用平方根的定义得出答案； （2）直接利用平方根的定义得出答案； （3）直接利用有理数的平方计算，再利用平方根的定义得出答案； （4）直接利用立方根的定义化简，再利用平方根的定义得出答案． 【解答】解：（1）∵（±11）2＝121， ∴121的平方根是±11； （2）， 因为， 所以的平方根是； （3）（﹣13）2＝169， 因为（±13）2＝169， 所以（﹣13）2的平方根是±13； （4）﹣（﹣4）3＝64， 因为（±8）2＝64， 所以﹣（﹣4）3的平方根是±8． 【点评】此题主要考查了平方根，正确掌握平方根的定义是解题关键． 9．求下列各式的值： （1）； （2）±； （3）； （4）±． 【分析】（1）根据算术平方根定义计算； （2）根据平方根定义计算； （3）根据算术平方根定义计算； （4）根据平方根定义计算． 【解答】解：（1）原式＝﹣14； （2）原式＝±； （3）原式＝0.5； （4）原式＝±8． 【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键． 10．求下列各数的平方根． （1）81；（2）1.96；（3）30；（4）；（5）（﹣1）2；（6）． 【分析】（1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用平方根的意义解答即可； （3）利用平方根的意义解答即可； （4）利用平方根的意义解答即可； （5）利用平方根的意义解答即可； （6）利用平方根的意义解答即可． 【解答】解：（1）∵（±9）2＝81， ∴81的平方根为±9； （2）∵（±1.4）2＝1.96， ∴1.96的平方根为±1.4； （3）∵（）2＝30， ∴30的平方根为； （4）∵， ∴的平方根为； （5）∵， ∴的平方根为； （6）17， ∵17， ∴的平方根为． 【点评】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 题型七 利用平方根或算术平方根的定义求值 解题技巧提炼 运用平方根及算术平方根的定义列方程求解，运用方程的思想求相关待定字母的值是数学中常用的方法. 1．（2023秋•邵阳期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1 【分析】根据2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则2m﹣4与3m﹣1互为相反数，构建方程求得m的值． 【解答】解：（2m﹣4）+（3m﹣1）＝0， 解得：m＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了平方根的定义，正确理解两个平方根的关系是关键． 2．（2022•游仙区校级二模）若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8 【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案． 【解答】解：∵﹣3xmy和5x3yn的和是单项式， ∴﹣3xmy和5x3yn是同类项， ∴m＝3，n＝1， ∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8． 故选：D． 【点评】本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 3．（2024春•城厢区校级期中）设一个正数的两个平方根是a﹣1和a+5，则这个正数为 　 ． 【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得：a﹣1+a+5＝0，据此求出a的值，进而求出这个正数即可． 【解答】解：∵一个正数的两个平方根是a﹣1和a+5， ∴a﹣1+a+5＝0， 解得：a＝﹣2， ∴这个数为（a﹣1）2＝（﹣3）2＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查平方根，解题的关键是理解平方根的意义． 4．（2024春•北京期末）的平方根是 　 　． 【分析】根据平方根的定义解决此题． 【解答】解：的平方根是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键． 5．（2024春•高坪区校级月考）如果a，b分别是2023的两个平方根，那么　 　． 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，得到a＝﹣b，代入代数式求值即可． 【解答】解：由题意，得：a＝﹣b， ∴． 故答案为：1． 【点评】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 6．（2023秋•靖远县期末）已知2a﹣1的平方根是±3，4a+2b﹣1的算术平方根是4，求3a+b的值． 【分析】根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再代入3a+b中求解即可． 【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝32， ∴a＝5， ∵4a+2b﹣1的算术平方根是4， ∴4a+2b﹣1＝42， ∴4×5+2b﹣1＝16， ∴， ∴． 【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和定义是解决本题的关键． 7．（2022春•仁怀市校级月考）（1）一个非负数的平方根是2a﹣1和a﹣5，这个非负数是多少？ （2）已知a﹣1和5﹣2a都是m的平方根，求a与m的值． 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得2a﹣1和a﹣5的关系，根据互为相反数的两个数的和为0，可得a的值，根据乘方，可得答案； （2）根据正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a，再求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，得（2a﹣1）+（a﹣5）＝0． 解得a＝2． ∴这个非负数是（2a﹣1）2＝（2×2﹣1）2＝9． （2）根据题意，分以下两种情况： ①当a﹣1与5﹣2a是同一个平方根时， a﹣1＝5﹣2a，解得a＝2． 此时，m＝12＝1； ②当a﹣1与5﹣2a是两个平方根时， a﹣1+5﹣2a＝0，解得a＝4． 此时，m＝（4﹣1）2＝9． 综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9． 【点评】本题考查了平方根，解题的关系是利用一个正数的平方根互为相反数，互为相反数的和为0． 8．（2023春•西陵区校级期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+2b的算术平方根为5， （1）求a，b的值； （2）求4a﹣6b的平方根． 【分析】根据算术平方根与平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3， ∴3b+3＝9， ∴b＝2， ∵3a+2b的算术平方根为5， ∴3a+2b＝25， ∴a＝7， 则a＝7，b＝2； （2）∵a＝7，b＝2； ∴±±4． 【点评】本题考查算术平方根和平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 9．（2023秋•高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|0，求a+3b+c的算术平方根． 【分析】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解． 【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， 解得：a＝5， ∵|b﹣1|0，且|b﹣1|≥0，0， ∴b﹣1＝0，c+4＝0， 解得：b＝1，c＝﹣4， ∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4， 2， ∴a+3b+c的算术平方根是2． 【点评】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键． 10．（2023春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5． （1）求a，b的值； （2）求4a﹣6b的平方根． 【分析】（1）根据平方根的定义列出方程求出b，再根据算术平方根的定义求出a，然后相加求出a+b，再根据平方根的定义解答． （2）根据平方根的定义计算即可． 【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3， ∴3b+3＝9， 解得b＝2， ∵3a+b的算术平方根为5， ∴3a+b＝25， ∵b＝2， ∴a， （2）∵a，b＝2， ∴4a﹣6b， ∴4a﹣6b的平方根为． 【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键． 题型八 利用平方根解方程 解题技巧提炼 先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值. 1．（2024春•韩城市校级月考）求下列各式中x的值： （1）4x2＝1； （2）x2﹣16＝0． 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【解答】解：（1）4x2＝1， ∴， ∴； （2）x2﹣16＝0， ∴x2＝16， ∴x±4． 【点评】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． 2．（2023春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值． （1）169x2＝100； （2）（x+1）2＝81． 【分析】（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得； （2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得． 【解答】解：（1）169x2＝100， ， ， ∴； （2）（x+1）2＝81， ， x+1＝±9， x＝8或﹣10． 【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键． 3．（2023秋•鼓楼区期末）求下列各式中的x： （1）4x2＝1； （2）（x﹣1）2﹣27＝0． 【分析】（1）先把x的系数化为1，再利用平方根的定义解答即可； （2）先移项，再利用平方根的定义解答即可． 【解答】解：（1）4x2＝1， x2， x＝±±， 故x或x； （2）（x﹣1）2﹣27＝0， （x﹣1）2＝27， x﹣1＝±±3， x＝1±3， 故x＝1+3或x＝1﹣3． 【点评】本题考查的是平方根，熟知如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根是解题的关键． 4．（2024春•旌阳区校级月考）求下列式子中x的值． （1）x2＝49； （2）4（x﹣1）2＝169； 【分析】（1）方程两边同时开方，即可作答． （2）方程两边先除以4，再开方，即可作答． 【解答】解：（1）x2＝49， ， ∴x1＝7，x2＝﹣7； （2）4（x﹣1）2＝169， ， ， ， ． 【点评】本题考查了运用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．已知a，b满足|a﹣4|0，解关于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝5b． 【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质得出a，b的值，进而代入解方程即可． 【解答】解：由题意得：a﹣4＝0，b﹣7＝0， ∴a＝4，b＝7， 将a＝4，b＝7代入（a﹣3）x2﹣1＝5b，得 （4﹣3）x2﹣1＝5×7 ∴x2＝36， 解得：x＝±6． 【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出a，b的值是解题关键． 6．（2023秋•银川月考）求下列各式中的x： （1）3（x﹣1）2＝363； （2）3（x+2）2﹣81＝0． 【分析】（1）根据等式的性质两边都除以3得到（x﹣1）2＝121，再根据平方根的定义进行计算即可； （2）移项得3（x+2）2＝81，再两边都除以3得（x+2）2＝27，由平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）两边都除以3得， （x﹣1）2＝121， 由平方根的定义得， x﹣1＝11或x﹣1＝﹣11， 解得x＝12或x＝﹣10； （2）移项得，3（x+2）2＝81， 两边都除以3得，（x+2）2＝27， 由平方根的定义得， x+2＝3或x+2＝﹣3， 即x＝32或x＝﹣32． 【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提． 7．求下列各式中的x： （1）9x2﹣25＝0； （2）（x+1）2+8＝72； （3）2（x﹣1）2﹣32＝0． 【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （3）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）移项得，9x2＝25， 两边都除以9得，x2， 由平方根的定义得，x＝±； （2）（x+1）2+8＝72， 移项得，（x+1）2＝72﹣8， 合并同类项得，（x+1）2＝64， 由平方根的定义得，x+1＝±8， 即x＝﹣9或x＝7； （3）移项得，2（x﹣1）2＝32， 两边都除以3得，（x﹣1）2＝16， 由平方根的定义得，x﹣1＝±4， 即x＝﹣3或x＝5． 【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提． 8．（2024春•思明区校级月考）求下列各式中x的值． （1）x2＝4； （2）x2﹣81＝0； （3）25x2＝36； （4）（x﹣1）2﹣169＝0． 【分析】利用平方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1）由原方程得：x＝±2； （2）原方程整理得：x2＝81， 则x＝±9； （3）原方程整理得：x2， 则x＝±； （4）原方程整理得：（x﹣1）2＝169， 则x﹣1＝±13， 解得：x＝14或x＝﹣12． 【点评】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． 9．（2023春•武侯区月考）求下列各式中的x的值： （1）9x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2+8＝72； （3）3（x+2）2﹣27＝0； （4）（x﹣5）2＝8． 【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）移项得，9x2＝25， 两边都除以9得，x2， 由平方根的定义得，x＝±； （2）（x﹣1）2+8＝72， 移项得，（x﹣1）2＝72﹣8， 合并同类项得，（x﹣1）2＝64， 由平方根的定义得，x﹣1＝±8， 即x＝9或x＝﹣7； （3）移项得，3（x+2）2＝27， 两边都除以3得，（x+2）2＝9， 由平方根的定义得，x+2＝±3， 即x＝1或x＝﹣5； （4）两边都乘以2得，（x﹣5）2＝16， 由平方根的定义得，x﹣5＝±4， 即x＝9或x＝1． 【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$