2.3 立方根 （6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

八年级上册数学《第2章 实数》 2.3 立方根 知识点一 立方根、开立方的定义 ★1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ★2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ★3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 知识二 立方根的性质 ★1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ★2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ★3、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 题型一 立方根的概念 解题技巧提炼 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 1．（2024春•城厢区校级期中）下列说法错误的是（　　） A．（﹣3）2的平方根是±3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 2．（2023春•合肥期末）下列说法错误的是（　　） A．3的平方根是 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1 3．（2024春•五华区期中）下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是±4 B．的平方根是±2 C．27的立方根是±3 D．3的平方根是 4．（2024春•蚌埠月考）下列说法错误的是（　　） A．1的立方根是1 B．5的平方根是 C．0.2是0.04的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1 5．（2023秋•尧都区期中）下列判断：①49的平方根是7；②只有正数才有平方根；③的算术平方根是；④0.64的立方根是0.4．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2022春•临高县期末）若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 7．求下列各数的立方根． （1）125； （2）0.027； （3）3 8．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（）3； （4）． 题型二 立方根的性质 解题技巧提炼 立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 1．（2024•新乐市一模）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 2．（2023春•东湖区校级期末）的立方根是 　 　． 3．（2023春•阳信县月考）的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 4．（2023春•仓山区校级月考）的立方根是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•郾城区校级月考）下列运算中错误的有（　　）个． ①±4 ②8 ③4 ④3 ⑤±3 A．4 B．3 C．2 D．1 6．填空： （1）64的立方根是 　 　 ； （2）的立方根是 ； （3）26的立方根是 　 　； 7．（2024春•长寿区校级期中）有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（　　） A．2 B． C．±2 D． 8．（1）求，，，，的值．对于任意数a，等于多少？ （2）求（）3，（）3，（）3，（）3，（）3的值．对于任意数a，（）3等于多少？ 9．（2023秋•滕州市校级月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求1的值． 题型三 开立方的运算 解题技巧提炼 （1） 开立方时，被开方数可以是正数、负数或零； （2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的 立方根. 1．（2023秋•上城区期末）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•和平区期末）下列式子正确的是（　　） A． B．7 C．±5 D．3 3．（2024春•滨海新区期末）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±6 B． C．3是9的算术平方根 D．1 4．（2023春•望奎县期末）如果，那么a，b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝±b C．a＝﹣b D．无法确定 5．（2023春•卫滨区校级期末）若a＜0，则化简的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2﹣2a D．2a﹣2 6．求下列各式的值： （1）　 ； （2）　 　； （3）　 ； （4）　 　． 7．求下列各式的值： （1）；（2）；（3）． 8．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（4）． 9．（2023春•东莞市期中）化简． （1）　 ，　 　，　 　，　 　． （2）　 　，　 ．　 ，　 　． （3）根据以上信息，观察a，b所在位置，完成化简． 10．（2024春•西城区校级期中）已知，且与互为相反数， （1）求y﹣x的平方根； （2）若3z+2y的算术平方根为A，5x﹣y的立方根为B，求A+B． 题型四 利用开立方解方程 解题技巧提炼 先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值. 1．（2024春•浦东新区校级期末）方程的根是　 ． 2．（2024春•碑林区校级期末）若8x3＝﹣27，则x的值为 　 　． 3．（2023春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24． 4．（2023春•西城区校级期中）解方程：． 5．（2023春•汉滨区期中）求式子中x的值：（x﹣1）3＝﹣9． 6．解方程：（5x﹣2）3+125＝0． 7．（2024春•城厢区校级期中）解方程： （1）（x﹣2）2﹣16＝0； （2）（x+1）3＝﹣1． 8．（2024春•禹城市校级月考）求下列式子中x的值． （1）2（x﹣1）2＝128； （2）27（x+1）3+8＝0． 9．（2023春•谷城县期中）求下列方程中x的值： （1）3（x﹣2）2﹣27＝0； （2）2（x+1）3+54＝0． 10．求下列各式中的x的值． （1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（x+1）3＝8． 11．（2023秋•句容市期末）求下列各式中x的值： （1）（x﹣2）2＝169； （2）3（x﹣3）3﹣24＝0． 12．（2023秋•和平区校级月考）解方程： （1）（x﹣1）2﹣1＝15； （2）． 题型五 平方根与立方根的综合 解题技巧提炼 先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根. 1．（2024春•官渡区期末）若x是4的算术平方根，y是﹣8的立方根，则xy的值为 　 　． 2．（2024春•雁塔区校级期末）已知m的立方根是﹣2，n的算术平方根是5．则2m+n的平方根为 　 ． 3．（2024春•崇明区期中）已知16的平方根是a，，那么a+b＝　 　． 4．（2023秋•菏泽月考）若|x﹣1|+（y﹣2）20，则x+y+z的立方根是 　 ． 5．（2023春•惠东县期中）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，则x+y的值为（　　） A．﹣6 B．﹣6或﹣10 C．﹣2或﹣6 D．2或﹣2 6．（2024春•平坝区月考）已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，且3b﹣1的立方根是﹣4．求的值． 7．（2023春•金乡县期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的值． 8．（2024春•东港区校级月考）已知是a+3b的算术平方根，是1﹣a2的立方根，求ab的平方根． 9．（2023秋•昌平区期中）已知3a+1的平方根是±4，2a+b﹣5的算术平方根是3． （1）求a，b的值； （2）求5b+a+2的立方根． 10．（2023秋•镇平县月考）已知，表示m+3的算术平方根，，表示n﹣2的立方根． （1）求m、n的值； （2）求M和N的值； （3）求M+N的平方根． 题型六 立方根的实际应用 解题技巧提炼 给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值. 1．（2024春•高密市月考）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 2．（2024春•兴宁区期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 3．（2023秋•张家川县期末）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 4．（2024春•濉溪县校级月考）已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为936cm3，则截去的每个小正方体的棱长是 　 　cm． 5．（2023秋•阳泉月考）如图，二阶魔方为2×2×2的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为72cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．cm B．2cm C．cm D． 6．老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是96cm2， 你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大665cm3，你能算出它的表面 积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 7．（2023秋•西安月考）将一个体积为135cm3的正方体木块锯成5块同样大小的正方体小木块，求正方体小木块的棱长． 8．（2022春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化， 铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的 棱长． 9．（2022春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3 厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 10．（2022春•路北区期末）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64cm3． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《第2章 实数》 2.3 立方根 知识点一 立方根、开立方的定义 ★1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ★2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ★3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 知识二 立方根的性质 ★1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ★2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ★3、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 题型一 立方根的概念 解题技巧提炼 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 1．（2024春•城厢区校级期中）下列说法错误的是（　　） A．（﹣3）2的平方根是±3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 【分析】根据平方根、立方根以及算术平方根的定义逐一判断即可． 【解答】解：A、（﹣3）2的平方根是±3，说法正确，不符合题意； B、，说法正确，不符合题意； C、4的算术平方根是2，说法正确，不符合题意； D、9的立方根是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平方根、立方根以及算术平方根，解题的关键是理解平方根，算术平方根，立方根的意义． 2．（2023春•合肥期末）下列说法错误的是（　　） A．3的平方根是 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1 【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即可． 【解答】解：A、3的平方根是±，原说法错误，故此选项符合题意； B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意； C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定义，以及算术平方根的定义． 3．（2024春•五华区期中）下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是±4 B．的平方根是±2 C．27的立方根是±3 D．3的平方根是 【分析】根据算术平方根，平方根及立方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：4的算术平方根是2，则A不符合题意； 4，它的平方根是±2，则B符合题意； 27的立方根是3，则C不符合题意； 3的平方根是±，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024春•蚌埠月考）下列说法错误的是（　　） A．1的立方根是1 B．5的平方根是 C．0.2是0.04的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1 【分析】根据相关定义和性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：A.1的立方根是1，此选项正确，不符合题意； B.5的平方根是，此选项错误，符合题意； C.0.2是0.04的一个平方根，此选项正确，不符合题意； D．算术平方根是本身的数只有0和1，此选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查平方根，立方根，算术平方根，关键是相关知识的熟练掌握． 5．（2023秋•尧都区期中）下列判断：①49的平方根是7；②只有正数才有平方根；③的算术平方根是；④0.64的立方根是0.4．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐个判断即可． 【解答】解：∵49的平方根是±7，故①错误； ∵正数和0都有平方根，故②错误； ∵的算术平方根是，故③正确； ∵0.064的立方根是0.4，故④错误； ∴正确的个数是1个， 故选：A． 【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，主要考查学生对平方根，立方根，算术平方根的理解能力和辨析能力，难度不是很大，但是比较容易出错． 6．（2022春•临高县期末）若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 【分析】先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可． 【解答】解：∵a2＝16，2， ∴a＝±4，b＝﹣8． ∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4； 当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键． 7．求下列各数的立方根． （1）125； （2）0.027； （3）3 【分析】根据立方根的定义可求解． 【解答】解：（1）∵53＝125， ∴； （2）∵（0.3）3＝0.027， ∴； （3）∵3， ∴3的立方根是． 【点评】本题考查了立方根，关键是熟记定义求解． 8．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（）3； （4）． 【分析】根据立方根的定义计算． 【解答】解：（1）原式＝3； （2）原式＝0.2； （3）原式＝﹣9； （4）原式． 【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 题型二 立方根的性质 解题技巧提炼 立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 1．（2024•新乐市一模）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 【分析】根据立方根的定义进行解答． 【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义． 2．（2023春•东湖区校级期末）的立方根是 　 　． 【分析】一个数x的立方等于a，那么这个数x即为a的立方根，先求得的值，然后根据立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：8， ∵23＝8， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查算术平方根及立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 3．（2023春•阳信县月考）的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【分析】根据立方根的定义即可求出答案． 【解答】解：原式＝﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2 故选：D． 【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型． 4．（2023春•仓山区校级月考）的立方根是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． 【解答】解：∵的立方等于， ∴的立方根等于． 故选：B． 【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 5．（2024春•郾城区校级月考）下列运算中错误的有（　　）个． ①±4 ②8 ③4 ④3 ⑤±3 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题． 【解答】解：①4，那么①错误． ②4，那么②错误． ③4，那么③错误． ④3，那么④正确． ⑤±±3，那么⑤错误． 综上：错误的有①②③⑤，共4个． 故选：A． 【点评】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键． 6．填空： （1）64的立方根是 　 　 ； （2）的立方根是 ； （3）26的立方根是 　 　； 【分析】（1）利用43＝64得到64的立方根； （2）利用（）3得到的立方根； （3）利用（22）3＝26得到26的立方根； 【解答】解：（1）64的立方根是4； （2）的立方根是； （3）26的立方根是4； 故答案为：（1）4；（2）；（3）4； 【点评】本题考查了立方根：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 7．（2024春•长寿区校级期中）有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（　　） A．2 B． C．±2 D． 【分析】依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【解答】解：∵64的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为，是无理数， 则输出， ∴y的值是． 故选：B． 【点评】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换． 8．（1）求，，，，的值．对于任意数a，等于多少？ （2）求（）3，（）3，（）3，（）3，（）3的值．对于任意数a，（）3等于多少？ 【分析】（1）直接利用立方根的性质计算得出答案； （2）直接利用立方运算法则得出答案． 【解答】解：（1）2，2，3，4，0， 故对于任意数a，a； （2）（）3＝8，（）3＝﹣8，（）3＝27，（）3＝﹣27，（）3＝0． 对于任意数a，（）3＝a． 【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键． 9．（2023秋•滕州市校级月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求1的值． 【分析】（1）根据题意可以列出一个例子来说明结论是否成立； （2）根据结论成立可以得到1﹣4x+2x+3＝0，可以求得x的值，从而可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）举例不唯一． 因为2+（﹣2）＝0，而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8+（﹣8）＝0，所以结论成立． 所以“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的． （2）由（1）验证的结果知，1﹣4x+2x+3＝0，所以x＝2，所以11＝1． 【点评】本题考查实数的运算、立方根，解答本题的关键是明确题意，利用相反数和立方根的知识解答． 题型三 开立方的运算 解题技巧提炼 （1） 开立方时，被开方数可以是正数、负数或零； （2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的 立方根. 1．（2023秋•上城区期末）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的定义分别判断即可． 【解答】解：A、5，故A不符合题意； B、5，故B符合题意； C、±±5，故C不符合题意； D、5，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，准确熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题的关键． 2．（2024春•和平区期末）下列式子正确的是（　　） A． B．7 C．±5 D．3 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义和性质回答即可． 【解答】解：A、，故A正确； B、±±7，故B错误； C、5，故C错误； D、3，故D错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． 3．（2024春•滨海新区期末）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±6 B． C．3是9的算术平方根 D．1 【分析】根据立方跟、平方根、算术平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：A、的平方根是，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、3是9的算术平方根，故该项正确，符合题意； D、1，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查立方跟、平方根、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 4．（2023春•望奎县期末）如果，那么a，b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝±b C．a＝﹣b D．无法确定 【分析】由立方根的性质，可知时，a＝﹣b． 【解答】解：∵， ∴a＝﹣b， 故选：C． 【点评】本题考查立方根；熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 5．（2023春•卫滨区校级期末）若a＜0，则化简的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2﹣2a D．2a﹣2 【分析】结合已知条件，根据算术平方根及立方根的定义化简即可． 【解答】解：∵a＜0， ∴原式＝﹣a﹣（a﹣2） ＝﹣a﹣a+2 ＝2﹣2a， 故选：C． 【点评】本题考查算术平方根与立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 6．求下列各式的值： （1）　 ； （2）　 　； （3）　 ； （4）　 　． 【分析】（1）原式利用立方根定义计算即可求出值； （2）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （3）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （4）原式利用立方根、算术平方根定义计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式6； （2）原式0.3； （3）原式； （4）原式＝4﹣9＝﹣5． 故答案为：（1）﹣6；（2）0.3；（3）；（4）﹣5． 【点评】此题考查了实数的运算，立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 7．求下列各式的值： （1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据立方根定义求出即可； （2）根据立方根定义求出即可； （3）根据立方根定义求出即可． 【解答】解：（1）6； （2）； （3）． 【点评】本题考查了对立方根定义的应用，主要考查学生的计算能力． 8．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（4）． 【分析】（1）直接利用立方根的性质化简得出答案； （2）直接利用立方根的性质化简得出答案； （3）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：（1）； （2）； （3）（4） ＝﹣1﹣6÷6 ＝﹣1﹣1 ＝﹣2． 【点评】此题主要考查了立方根的性质，正确化简各数是解题关键． 9．（2023春•东莞市期中）化简． （1）　 ，　 　，　 　，　 　． （2）　 　，　 ．　 ，　 　． （3）根据以上信息，观察a，b所在位置，完成化简． 【分析】（1）根据算术平方根的计算方法可以解答本题； （2）根据立方根的计算方法可以解答本题； （3）根据数轴可以判断a、b的大小与正负，从而可以化简题目中的式子． 【解答】解：（1）2，2，0，|a|， 故答案为：2、2、0、|a|； （2）3，3.0，a， 故答案为：3、﹣3、0、a； （3）由图可得， a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴ ＝b+b﹣a﹣（a﹣b） ＝b+b﹣a﹣a+b ＝3b﹣2a． 【点评】本题考查立方根、算术平方根、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．（2024春•西城区校级期中）已知，且与互为相反数， （1）求y﹣x的平方根； （2）若3z+2y的算术平方根为A，5x﹣y的立方根为B，求A+B． 【分析】（1）根据非负数的性质求出x、y值，再求y﹣x的平方根即可； （2）根据互为相反数的性质求出z值，再根据平方根立方根性质求出A、B，最后代入计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴x＝﹣5，y＝2， ∴y﹣x＝2﹣（﹣5）＝7， ∴y﹣x的平方根为±． （2）∵与互为相反数， ∴1﹣2z+3z﹣5＝0，解得z＝4， ∴3z+2y＝3×4+2×2＝16， ∴3z+2y的算术平方根为A＝4， ∵5x﹣y＝5×（﹣5）﹣2＝﹣27， ∴5x﹣y的立方根为B＝﹣3， ∴A+B＝4+（﹣3）＝1． 【点评】本题考查了实数的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是关键． 题型四 利用开立方解方程 解题技巧提炼 先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值. 1．（2024春•浦东新区校级期末）方程的根是　 ． 【分析】根据立方根的定义解方程即可． 【解答】解：， ， x3＝﹣125， x＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题关键． 2．（2024春•碑林区校级期末）若8x3＝﹣27，则x的值为 　 　． 【分析】先将系数化为1，再利用立方根的定义解方程即可． 【解答】解：∵8x3＝﹣27， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了利用立方根的定义解方程，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 3．（2023春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24． 【分析】先整理成x3＝a的形式，再直接开立方解方程即可． 【解答】解：3（x﹣1）3＝24， （x﹣1）3＝8， x﹣1＝2， x＝3． 【点评】此题主要考查了利用立方根的性质解方程．要灵活运用使计算简便． 4．（2023春•西城区校级期中）解方程：． 【分析】根据立方根的定义解决此题． 【解答】解：∵（x﹣1）3＝4， ∴（x﹣1）3＝8． ∴x﹣1＝2． ∴x＝3． 【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． 5．（2023春•汉滨区期中）求式子中x的值：（x﹣1）3＝﹣9． 【分析】根据立方根的定义进行解答便可． 【解答】解：（x﹣1）3＝﹣27， x﹣1＝﹣3， x＝﹣2． 【点评】本题主要考查了立方根的定义，运用立方根的定义求值是解题的关键． 6．解方程：（5x﹣2）3+125＝0． 【分析】利用立方根的定义得到5x﹣2＝﹣5，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：∵（5x﹣2）3+125＝0， ∴（5x﹣2）3＝﹣125， ∴5x﹣2＝﹣5， ∴5x＝﹣3， ∴x． 【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 7．（2024春•城厢区校级期中）解方程： （1）（x﹣2）2﹣16＝0； （2）（x+1）3＝﹣1． 【分析】（1）直接用开平方法求解即可； （2）开立方后可得一个一元一次方程，求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣16＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝±4， 解得：x1＝6，x2＝﹣2． （2）（x+1）3＝﹣1， ∴x+1＝﹣1， ∴x＝﹣2． 【点评】本题考查了解方程，平方根和立方根的应用，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． 8．（2024春•禹城市校级月考）求下列式子中x的值． （1）2（x﹣1）2＝128； （2）27（x+1）3+8＝0． 【分析】（1）先把方程两边同时除以2，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）先把方程两边同时减去8，再同时除以27，然后根据求立方根的方法解方程即可． 【解答】解：（1）∵2（x﹣1）2＝128， ∴（x﹣1）2＝64， ∴x﹣1＝±8， ∴x＝9或x＝﹣7； （2）∵27（x+1）3+8＝0， ∴27（x+1）3＝﹣8， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了根据求平方根和求立方根的方法解方程，正确记忆相关知识点是解题关键． 9．（2023春•谷城县期中）求下列方程中x的值： （1）3（x﹣2）2﹣27＝0； （2）2（x+1）3+54＝0． 【分析】（1）将该方程整理后运用平方根知识进行求解； （2）将该方程整理后运用立方根知识进行求解、计算． 【解答】解：（1）移项，得3（x﹣2）2＝27， 系数化为1，得（x﹣2）2＝9， 开平方，得x﹣2＝±3， 解得x＝5或x＝﹣1； （2）移项，得2（x+1）3＝﹣54， 系数化为1，得（x+1）3＝﹣27， 开平方，得x+1＝﹣3， 解得x＝﹣4． 【点评】此题考查了运用平方根和立方根知识解方程的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算． 10．求下列各式中的x的值． （1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（x+1）3＝8． 【分析】根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答各个方程． 【解答】解：（1）x3﹣216＝0 x3＝216 x x＝6； （2）（x+5）3＝64 x+5 x+5＝4 x＝﹣1； （3）（x+1）3＝8 x+1 x+1＝2 x＝2． 【点评】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法和解方程的方法． 11．（2023秋•句容市期末）求下列各式中x的值： （1）（x﹣2）2＝169； （2）3（x﹣3）3﹣24＝0． 【分析】（1）利用平方根解方程即可求出． （2）利用立方根解方程即可求出． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝169 （x﹣2）2＝132 x﹣2＝±13 x＝15或﹣11； （2）3（x﹣3）3﹣24＝0 3（x﹣3）3＝24 （x﹣3）3＝8 x﹣3＝2 x＝5． 【点评】本题主要考查平方根解方程和立方根解方程的知识，熟练掌握平方根和立方根的实际应用是解题的关键． 12．（2023秋•和平区校级月考）解方程： （1）（x﹣1）2﹣1＝15； （2）． 【分析】（1）根据等式的性质得出（x﹣1）2＝16，再由平方根的定义可得答案； （2）根据等式的性质得出（x+3）3＝27，再由立方根的定义可得答案． 【解答】解：（1）移项得，（x﹣1）2＝15+1， 合并同类项得，（x﹣1）2＝16， 由平方根的定义得，x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4， 解得x＝5或x＝﹣3， 所以原方程的解为x＝5或x＝﹣3； （2）移项得，（x+3）3＝9， 两边都乘以3得，（x+3）3＝27， 由立方根的定义得，x+3＝3， 解得x＝0， 所以原方程的解为x＝0． 【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 题型五 平方根与立方根的综合 解题技巧提炼 先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根. 1．（2024春•官渡区期末）若x是4的算术平方根，y是﹣8的立方根，则xy的值为 　 　． 【分析】根据算术平方根的运算求得x＝2；根据立方根运算求得y＝﹣2，进而得出结果． 【解答】解：∵x是4的算术平方根， ∴x＝2， ∵y是﹣8的立方根， ∴y＝﹣2， ∴xy＝2×（﹣2）＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查算术平方根与立方算，掌握算术平方根和立方根的定义是关键． 2．（2024春•雁塔区校级期末）已知m的立方根是﹣2，n的算术平方根是5．则2m+n的平方根为 　 ． 【分析】先根据立方根，算术平方根的定义求出m与n的值，再代入进行计算即可． 【解答】解：∵m的立方根是﹣2，n的算术平方根是5． ∴m＝﹣8，n＝25． ∴±±3． 故答案为：±3． 【点评】本题考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3．（2024春•崇明区期中）已知16的平方根是a，，那么a+b＝　 　． 【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可计算． 【解答】解：∵16的平方根是a， ∴a＝±4， ∵3， ∴b＝﹣27， 当a＝4，b＝﹣27时， a+b ＝4﹣27 ＝﹣23； 当a＝﹣4，b＝﹣27时， a+b ＝﹣4﹣27 ＝﹣31． 故答案为：﹣23或﹣31． 【点评】本题考查平方根，立方根，关键是掌握平方根，立方根的定义． 4．（2023秋•菏泽月考）若|x﹣1|+（y﹣2）20，则x+y+z的立方根是 　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算后根据立方根的定义解答即可． 【解答】解：∵|x﹣1|+（y﹣2）20， ∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，z﹣3＝0， 解得x＝1，y＝2，z＝3， ∴x+y+z＝1+2+3＝6， ∴x+y+z的立方根是． 故答案为：． 【点评】本题考查了立方根和非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 5．（2023春•惠东县期中）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，则x+y的值为（　　） A．﹣6 B．﹣6或﹣10 C．﹣2或﹣6 D．2或﹣2 【分析】根据平方根和立方根的定义分别求出x、y的值，再代入求出即可． 【解答】解：∵（±2）2＝4， ∴4的平方根是±2， 即x＝±2， ∵﹣64的立方根是y， ∴y＝﹣4， 当x＝2时，x+y＝2+（﹣4）＝﹣2， 当x＝﹣2时，x+y＝﹣2+（﹣4）＝﹣6． 故选：C． 【点评】本题考查了平方根和立方根，解题的关键能够根据平方根和立方根的定义是求出xy的值． 6．（2024春•平坝区月考）已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，且3b﹣1的立方根是﹣4．求的值． 【分析】先根据平方根的定义求出a，立方根定义求出b，再代入计算即可． 【解答】解：∵某个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15， ∴a+3+2a﹣15＝0， 解得：a＝4， ∵3b﹣1的立方根是﹣4， ∴3b﹣1＝（﹣4）3， 解得：b＝﹣21， ∴． 【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． 7．（2023春•金乡县期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的值． 【分析】根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3， ∴2a﹣1＝9，即a＝5； ∵3a+b﹣9的立方根是2， ∴3a+b﹣9＝8， 即b＝2， ∵c是的整数部分，而45， ∴c＝4， ∴a+2b+c＝13， 答：a+2b+c的值为13． 【点评】本题考查估算算术平方根，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算算术平方根的方法是正确解答的前提． 8．（2024春•东港区校级月考）已知是a+3b的算术平方根，是1﹣a2的立方根，求ab的平方根． 【分析】根据题意得a﹣2b﹣5①2b+1②，据此即可求解． 【解答】解：∵是a+3b的算术平方根， ∴a﹣2b﹣5①， ∵是1﹣a2的立方根， ∴2b+1②， 由①②得：a＝9，b＝1， ∴ab＝9， ∴ab的平方根为±3． 【点评】本题考查了平方根，立方根及算术平方根的相关知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．（2023秋•昌平区期中）已知3a+1的平方根是±4，2a+b﹣5的算术平方根是3． （1）求a，b的值； （2）求5b+a+2的立方根． 【分析】（1）根据平方根、算术平方根的定义得出3a+1＝16，2a+b﹣5＝9，进而求出a、b的值； （2）求出5b+a+2的值，再根据立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵3a+1的平方根是±4，2a+b﹣5的算术平方根是3， ∴3a+1＝16，2a+b﹣5＝9， 解得a＝5，b＝4， 答：a＝5，b＝4； （2）当a＝5，b＝4时，5b+a+2＝27， ∴5b+a+2的立方根为3． 【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 10．（2023秋•镇平县月考）已知，表示m+3的算术平方根，，表示n﹣2的立方根． （1）求m、n的值； （2）求M和N的值； （3）求M+N的平方根． 【分析】（1）由题意列得关于m，n的方程组，解方程组即可； （2）将m，n的值代入计算即可； （3）计算求得M+N的值后利用平方根的定义即可求得答案． 【解答】解；（1）由题意得， 解得 ； （2）由（1）知 ， ∴M3，N1， ∴M＝3，N＝1； （3）由（2）知M＝3，N＝1， ∴±±±±2， 即M+N的平方根为±2． 【点评】本题考查算术平方根，平方根，立方根及解二元一次方程组，结合已知条件求得m，n的值是解题的关键． 题型六 立方根的实际应用 解题技巧提炼 给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值. 1．（2024春•高密市月考）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵面积等于边长的平方， ∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根． 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 2．（2024春•兴宁区期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【分析】先求出每个小正方体的体积，然后根据立方根的定义即可求出每个小正方体的棱长． 【解答】解：根据题意得每个小正方体的体积为27÷27＝1， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 3．（2023秋•张家川县期末）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】利用立方根定义求出棱长即可． 【解答】解：根据题意知，每个小正方体木块的棱长为2（cm）， 故选：A． 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键． 4．（2024春•濉溪县校级月考）已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为936cm3，则截去的每个小正方体的棱长是 　 　cm． 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是x cm，由题意得出1000﹣8x3＝936，整理得x3＝8，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【解答】解：设截去的每个小正方体的棱长是x cm， 由题意得：1000﹣8x3＝936， 整理得：x3＝8， 解得：x＝2， ∴截去的每个小正方体的棱长是2cm， 故答案为：2． 【点评】本题考查立方根、截一个几何体，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5．（2023秋•阳泉月考）如图，二阶魔方为2×2×2的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为72cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．cm B．2cm C．cm D． 【分析】根据正方体体积的计算方法以及立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵二级魔方是由8个小正方体组成的，二阶魔方的体积约为72cm3， ∴每一个小正方体的体积为9cm3， ∴每个小正方体的棱长为cm， 故选：C． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提． 6．老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是96cm2， 你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大665cm3，你能算出它的表面 积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 【分析】根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解． 【解答】解：96÷6＝16（cm2）， 4（cm）， 4×4×4＝64（cm3）， 64+665＝729（cm3）， 9（cm）， 9×9×6＝486（cm2）． 答：它的表面积是486cm2． 【点评】此题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面积和体积公式解答． 7．（2023秋•西安月考）将一个体积为135cm3的正方体木块锯成5块同样大小的正方体小木块，求正方体小木块的棱长． 【分析】一个正方体木块的体积是135cm3，现将它锯成5块同样大小的正方体小木块，求正方体小木块的棱长． 【解答】解：设小正方体的棱长为xcm， 根据题意得，5x3＝135， x3＝27， x＝3． 答：正方体小木块的棱长为3cm． 【点评】本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 8．（2022春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化， 铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的 棱长． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：（cm）， 则原来正方体钢铁的棱长为 cm． 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 9．（2022春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3 厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 【分析】根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解． 【解答】解：设第二个纸盒的棱长为acm， ∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3， ∴a3﹣33＝189， ∴a3＝189+27＝216， a3＝216＝63 ∴a＝6cm． 【点评】此题考查立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a要注意平方根的定义：某个自乘结果等于的实数，其中属于非负实数的平方根称算术平方根．一个正数两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根． 10．（2022春•路北区期末）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64cm3． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【分析】（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长； （2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长． 【解答】解：（1）（cm）． （2）∵魔方的棱长为4cm， ∴小立方体的棱长为2cm， ∴阴影部分面积为：2×2×4＝8（cm2）， 边长为：（cm）． 【点评】本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$