专题04 双曲线、抛物线（专题测试）-2021-2022学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题04 双曲线、抛物线 一、单选题 1. 与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为      A. B. C. D. 【答案】 解：椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线的标准方程为， 则解得． 所以双曲线的标准方程为． 故选C． 2. 直线过点且与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有 A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】 解：当直线的斜率不存在时，方程为， 此时直线与双曲线相切于其右顶点，满足条件 当直线的斜率存在时，若直线与渐近线平行， 也能满足与双曲线有且仅有一个公共点． 综上，满足条件的直线共有条． 故选C． 3. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，如果，则等于 A. B. C. D. 【答案】 【解析】解：抛物线的焦点为，准线方程为根据题意可得，． 故选B． 4. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则弦的长为 A. B. C. D. 【答案】 解：根据抛物线方程得：焦点坐标， 直线的斜率为， 由直线的点斜式方程得的方程：， 方法一： 将直线方程代入到抛物线方程中， 得：， 可知：， 设，， 由一元二次方程根与系数的关系得： ，， 则弦长 ． 方法二：将直线方程代入到抛物线方程中， 得：， 可知：， 设，， 由一元二次方程根与系数的关系得： ，． 直线过焦点， ． 故选A．    5. 过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线，交双曲线的渐近线于点、，为坐标原点，则的面积为  A. B. C. D. 【答案】 解：不防设点在第一象限，点在第四象限， 因为， 双曲线的渐近线为， 故， 所以， 所以， 又，则， 所以， 所以， 从而的面积为， 故选C． 6. 设是双曲线：的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为    A. B. C. D. 【答案】 解：不妨记是双曲线的下焦点，设是双曲线的上焦点，记是双曲线的下顶点， 是双曲线的上顶点， 画出如图所示的图象， 由于为的中点，为线段的中点， 则由中位线定理可得，， 由与以线段为直径的圆相切于点， 则，， 由双曲线的定义可得，， 即有，则， 由，由勾股定理可得， 即，则，即． 的渐近线方程为． 故选：． 7. 已知抛物线：的焦点为，的准线与对称轴交于点，直线与交于，两点，若为的角平分线，且，则  A. B. C. D. 【答案】 解：如图，连接，，过，分别作准线的垂线，垂足分别为，， 易知，，． 由角平分线定理可得， 则． ， ． 故选B． 8. 已知双曲线的左、右顶点为，焦点在轴上的椭圆以为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为  A. B. C. D. 【答案】 解：已知双曲线的左、右顶点为，， 焦点在轴上的椭圆以为顶点，且离心率为的椭圆方程为， 所以， 得到，即， 所以椭圆的方程为， 过作斜率为的直线：， 与双曲线联立 整理得， 设， 由韦达定理得到，则， ，故， 与椭圆联立得， 设， 由韦达定理得到，则，， 所以， 因为，得到， 解得， 故选A． 2、 多选题 9. 已知双曲线：，则 A. 的离心率为 B. 的虚轴长是实轴长的倍 C. 双曲线与的渐近线相同 D. 直线上存在一点在上 【答案】 解：因为双曲线， ，， ， ， 故离心率，故A正确． 虚轴长，实轴长，故，故B错误． 双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，故C正确． 由，消去得无实数解，故直线与双曲线没有公共点，故直线上不存在双曲线上的点，故D错误． 故选：．   10. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则    A. B. C. D. 的坐标为 【答案】 解： 由题意可知，由，可得，所以，，，故选AC． 11. 给出如下四个命题不正确的是    A. 方程表示的图形是圆 B. 椭圆的离心率 C. 抛物线的准线方程是 D. 双曲线的渐近线方程是 【答案】 解： 对于，将方程配方得，表示的图形是一个点，所以不正确； 对于，由已知，所以椭圆的离心率，所以不正确； 对于， 抛物线的标准方程为，即，焦点在轴上，所以准线方程是，所以C正确； 对于， 双曲线的标准方程为， 渐近线方程为，所以不正确． 故选ABD．   12. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为，，下列结论正确的是    A. 双曲线的渐近线与圆相切 B. 满足的点共有个 C. 直线与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是 D. 若，则 【答案】 解：由双曲线的标准方程得：，，． A.双曲线的渐近线方程为，圆的圆心到渐近线的距离为，等于圆的半径，所以双曲线的渐近线与该圆相切，故选项A正确； B.，所以以为圆心以为半径的圆与双曲线左支有两个交