第13讲 平行与垂直-2021-2022学年七年级数学上册精选专题演练(苏科版)

第13讲 平行与垂直 【知识图谱】 【知识清单】 一、平行 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b. 2.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 二、垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【典型例题】 【例题1】下列说法错误的是（　　） A．无数条直线可交于一点 B．平行于同一直线的两直线平行 C．直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条 D．两条不相交的直线是平行线 【答案】D． 【例题2】下列语句中，正确的有 ( ). ①一条直线的垂线只有一条． ②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直． ③两直线相交，则交点叫垂足． ④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【例题3】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，则下列结论中不正确的是（　　） A．∠AOF=45° B．∠BOD=∠AOC C．∠BOD的余角等于75°30′ D．∠AOD与∠BOD互为补角 【答案】C． 【变式1】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40, 则∠EOF=_______. 【答案】130°． 【变式2】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC. 【答案】 证明：如图， ∵OM平分∠AOB ∴∠1=∠2 又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2 由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2 ∴∠3=∠4 ∴ ON平分∠BOC 【例题4】如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【变式1】过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是（　　） A． B．C．D． 【答案】D 【变式2】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( ) ． A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 【答案】D. 【例题5】如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=3：5． （1）求∠EOB的度数． （2）过点O作射线OF⊥OE，求∠BOF的度数． 【答案】解：（1）∵∠AOC=80°，∠BOD=∠AOC， ∴∠BOD=80°， ∵∠BOE：∠EOD=3：5， ∴∠EOB=80°×=30°； （2）如图： ∵OF⊥OE， ∴∠EOF=90°， 当OF在∠AOD的内部时， ∠BOF=∠EOF+∠BOE =90°+30° =120°， 当OF在∠BOC的内部时， ∠BOF=∠EOF-∠BOE =90°-30° =60°， 综上所述∠BOF=60°或120°． 【例题6】若同一平面内三条射线OA、OB、OC有公共端点，且满足∠AOC=∠BOC时，我们称OC是【OA，OB】的“和谐线”，但OC不是【OB，OA】的“和谐线”． （1）如图1，已知OM⊥ON，射线OG是ON的反向延长线，OE、OF是∠MON的三等分线，则射线 OE是【OM，ON】的“和谐线”； （2）如图2，若∠AOB=60°，OC是【OA，OB】的“和谐线”，则∠BOC=______． （3）如图3，若∠AOB=60°，射线OP，OQ同时从OB开始，分别以每秒10°和每秒6°的速度按逆时针方向绕点O旋转．求射线OP成为两条射线OA和OQ的“和谐线”时，射线OP旋转的时间t的值．（0＜t＜18） 【答案】解：（1）∵OM⊥ON， ∴∠MON=90°， ∵OE、OF是∠MON的三等分线， ∴∠MOE=30°，∠NOE=60°， ∴∠MOE＝∠NOE， ∴OE是【OM，ON】的“和谐线”， 故答案为：OE； （2）①如图，OC在∠AOB内， ∵OC是【OA，OB