圆锥曲线专题突破02——定值问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专项突破

圆锥曲线专题突破02——定值问题 题型一 距离定值 1．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 ，则椭圆在其上一点 ， 处的切线方程为 ，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设 为椭圆 的右焦点，直线 与椭圆 相切于点 （点 在第一象限），过原点 作直线 的平行线与直线 相交于点 ，问：线段 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 2．已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ， ． （1）证明： ； （2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ．证明： ， ， 成等差数列，并求该数列的公差． 3．平面直角坐标系 中，已知椭圆 过点 ，离心率为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，试探究 是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由． 4．已知椭圆 ． （1）直线 过点 与椭圆 交于 ， 两点，若 ，求直线 的方程； （2）在圆 上取一点 ，过点 作圆 的切线 与椭圆 交于 ， 两点，求 的值． 5．已知椭圆 过点 ，过坐标原点 作两条互相垂直的射线与椭圆 分别交于 ， 两点． （1）证明：当 取得最小值时，椭圆 的离心率为 ． （2）若椭圆 的焦距为2，是否存在定圆 与直线 总相切？若存在，求定圆 的方程；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线 ． 的焦点为 ，直线 与 轴相交于点 ，与曲线 相交于点 ，且 ． （1）求抛物线 的方程； （2）过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，过 ， 分别作抛物线的切线，两切线交于点 ，求证点 的纵坐标为定值． 7．如图，已知椭圆 的左、右顶点为 ， ，上、下顶点为 ， ，记四边形 的内切圆为 ． （1）求圆 的标准方程； （2）已知圆 的一条不与坐标轴平行的切线 交椭圆 于 ， 两点． 求证： ； 试探究 是否为定值． 8．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 与直线 相切（有且只有一个公共点）． （1）求椭圆 的方程； （2） 为椭圆 上一点，射线 ， 分别交椭圆 于点 ， ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 9．如图，已知椭圆 ，点 是其下顶点，过点 的直线交椭圆 于另一点 点在 轴下方），且线段 的中点 在直线 上． （1）求直线 的方程； （2）若点 为椭圆 上异于 、 的动点，且直线 ， 分别交直线 于点 、 ，证明： 为定值． 10．已知椭圆 过点 ，且离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 、 两点，以 为对角线作正方形 ，记直线 与 轴的交点为 ，问 ， 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 11．在直角坐标系 中，曲线 上的点均在 外，且对 上任意一点 ， 到直线 的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值． （Ⅰ）求曲线 的方程 （Ⅱ）设 ， 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 ， 和 ， ．证明：当 在直线 上运动时，四点 ， ， ， 的纵坐标之积为定值． 12．如图，已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线的准线与 轴的交点，且 ． （Ⅰ）求抛物线的方程： （Ⅱ）设过点 的直线交抛物线于 ， 两点，若斜率为2的直线 与直线 ， ， ， 轴依次交于点 ， ， ， ，且满足 ，求直线 在 轴上截距的取值范围． 13．已知椭圆 经过 与 两点，过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，椭圆 上一点 满足 ． （1）求椭圆 的方程； （2）求证： 为定值； 题型二 面积定值 14．已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 有且只有一个公共点． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程 （Ⅱ）设点 ， ， 为椭圆 上一点，且直线 与 的斜率乘积为 ，点 ， 是椭圆 上不同于 ， 的两点，且满足 ， ，求证： 的面积为定值． 15．已知椭圆 经过点 ，且椭圆 的离心率 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若点 ， 是椭圆 上的两个动点， ， 分别为直线 ， 的斜率且 ，试探究 的面积是否为定值． 16．已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线 右支上一动点 ， 到两条渐近线 ， 的距离之积为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）设直线 是曲线 在点 ， 处的切线，且 分别交两条渐近线 ， 于 、 两点， 为坐标原点，证明： 面积为定值，并求出该定值． 17．已知椭圆 ． （Ⅰ）求椭圆 的离心率； （Ⅱ）若椭圆 与直线 交于 ， 两点，且 ，求 的值； （Ⅲ）若点 ， 与点 ， 在椭圆 上，且点 在第一象限，点 在第二象限，点 与点 关于原点对称，求证：当 时，三角形 的面积为定值． 18．已知椭圆 经过点 ，且离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）