第2讲 三角恒等变换与解三角形（练·）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材·新高考）

第2讲 三角恒等变换与解三角形（练·教师版） 一、单选题 1．（福建厦门市高三二模）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且，所以，， ，其中， 所以，两边平方得，所以. 故选B. 2．（2019·北京市第五十中学高三期中）在中，，，，则等于（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理知， ∴， ∵，，∴或.故选A. 3．（2021·山西临汾市二模（理））在中，，E，F分别在边上．若线段平分的面积，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，由三角形面积定理得， ，△AEF中由余弦定理得， ，当且仅当时取“=”.故选D. 4．（2021·山西怀仁市第一中学校高三期中（理））5G是中国的一张名片，据报道，中国在5G时代领先德国的时间至少在两年以上.某地为加强5G网络建设拟修建一信号塔.如图，线段表示一信号塔，表示一斜坡，.且，，三点在同一水平线上，点，，，，在同一平面内，斜坡的坡比为，米.某人站在坡顶处测得塔顶点的仰角为，站在坡底处测得塔顶点的仰角为（人的身高忽略不计），则信号塔的高度为（ ）（结果精确到1米）.（参考数据：，，，） A．54米 B．58米 C．76米 D．85米 【答案】D 【解析】，. 在中，（米）. 在中，，， 由正弦定理得， 所以， 在中， （米）.故选D. 5．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，即， ， ， 由正弦定理知，， ，即， ， 由余弦定理知， 化简得， 面积 ， 当时，有最大值为．故选A． 6．（2021·江西赣州市赣县第三中学高三月考（文））已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若的外接圆直径为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理及， 得， ， 即， . ，. 即，， . 又是锐角三角形， ，解得， . ，， ， .故选C. 二、多选题 7．（2021·山东省实验中学高三月考）下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为， ， 所以，所以A正确， 对于B，因为，所以B错误， 对于C，因为， 所以，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确.故选ACD. 8.（2021·黑龙江哈尔滨三中高三期中（理））在中，内角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】AD 【解析】由题意知， 由角平分线的性质以及面积公式可得， 化简得， ，当且仅当时成立，解得，故A正确，B错误； ，， ， 当且仅当，即时等号成立，故C错误，D正确.故选AD. 9．（多选题）（2021·沈阳市辽宁实验中学高三二模）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）． A．若，则是等边三角形 B．若，则是等边三角形 C．若，则是等边三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】BCD 【解析】A，若， 由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确； B，若， 由正弦定理可得：， ∴， ∵，∴， ∴是等边三角形，正确． C，若， 由正弦定理可得：，∴， ∵，∴， ∴是等边三角形，正确． D，若，∴， 时，是等边三角形； 时，研究函数的单调性， ，时，， ∴函数在上单调递减，因此不成立． 综上可得：是等边三角形，正确．故选BCD． 10．（多选题）（2020·福建省龙岩第一中学高三月考）如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（ ） A． B．BD=2 C． D．△CBD的面积为 【答案】AC 【解析】由，得：， 又角为钝角， 解得， 由余弦定理，得：， 解得，可知为等腰三角形，即， 所以， 解得，故正确， 可得， 在中，，得，可得，故错误， ，可得，可得，故正确， 所以的面积为，故错误．故选AC． 三、填空题 11．（2021·云南省永善县第一中学高三开学考试）我们将底与腰之比为（也叫黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它是顶角为的等腰三角形，也称“最美三角形”.中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，在图中的“最美三角形”的中，黄金分割比为.根据这些信息，计算出___________. 【答案】 【解析】根据题意，在“最美三角形”中，，， 所以根据正弦定理得， 再根据二倍角公式得，即， 所以，即， 所以， 所以. 12．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州凯