第2讲 三角恒等变换与解三角形（讲·）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材·新高考）

第2讲 三角恒等变换与解三角形（讲·教师版） 高考定位 1.三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度． 2．解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度. 核心整合 1．三角求值的“三大类型”：“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”： (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化． 3．正、余弦定理及三角形面积公式 (1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. (3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A. （4）二级结论要用好 (1)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (2)△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°. (3)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列． (4)S△ABC＝(R为△ABC外接圆半径)． 真题体验 1．【2021•全国高考乙卷文科】 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意， .故选D. 2.【2021•全国新高考Ⅰ卷】若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】将式子进行齐次化处理得： ．故选C． 3.【2021•全国高考甲卷文、理科】若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ， ，，，解得， ，.故选A. 4．【2021•全国高考甲卷文科】在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】设， 结合余弦定理：可得：， 即，解得：（舍去），故.故选D. 5.【2021•全国高考乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ） A. 表高 B. 表高 C. 表距 D. 表距 【答案】A 【解析】如图所示： 由平面相似可知，，而，所以 ，而， 即＝．故选A. 6.【2021•全国高考乙卷文、理科】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】由题意，，所以， 所以，解得（负值舍去）. 7.【2021•浙江省高考】在中，，M是的中点，，则___________，___________. 【答案】 (1). (2). 【解析】由题意作出图形，如图， 在中，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； 在中，由余弦定理得. 能力突破 考点一　三角恒等变换 【例1】 1．（2021·江西九江市九江一中高三期中）已知()，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴，即， ∵，∴，∴，故， ∴， 故.故选B. 2．(一题多解)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________． 解析：方法一：由已知可得sin α＋cos α＝ ＝cos＝， 所以cos＝＝. 故sin2＝1－cos2＝1－＝. 方法二：将sin α＋cos α＝两边同时平方，得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝. 所以sin2＝＝＝＝. 答案： 【规律方法】 三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数，有时，虽不能转化为特殊角