第二章 3 第二课时 函数的最值（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

第二课时　函数的最值 课标要求 素养要求 借助函数图象，利用函数的单调性，会用符号语言表达函数的最大(小)值，理解它们的作用和实际意义. 通过利用函数单调性求最值，提升直观想象、逻辑推理素养. 自主梳理 函数的最值 若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D ，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最大值.同样地，可以定义函数y＝f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. (1)函数最值的几何意义：函数的最大值是对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值为对应图象最低点的纵坐标. (2)函数的最值与值域的区别 ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的值域为开区间，则函数无最值；若函数的值域为闭区间，则闭区间的端点值是函数的最值.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)f(x)＝在其定义域内无最大值、最小值.(√) (2)f(x)＝2x2＋4x＋1的值域为[－1，＋∞).(√) (3)若函数f(x)在其定义域内有最大值和最小值，则最大值一定大于其最小值.(√) (4)函数图象的最高点只有1个，则函数的最大值只有1个.(×) 提示　函数图象的最高点可以有无数多个，这些点的纵坐标都相等，则最大值只有1个. 2.函数y＝在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是(　　) A.1， B.无最大值， C.，无最小值 D.， 答案　A 解析　∵y＝在[2，4]上是减函数， ∴ymax＝1，ymin＝，故选A. 3.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为(　　) A.42，12 B.42，－ C.12，－ D.无最大值，－ 答案　D 解析　∵f(x)＝，x∈(－5，5)， － ∴f(x)在上是增函数， 上是减函数，在 ∴当x＝－，f(x)无最大值.时，f(x)有最小值－ 4.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为________. 答案　±2 解析　由题意知y＝ax＋1在[1，2]上为单调函数，所以|2a＋1－a－1|＝2，∴|a|＝2，∴a＝±2. 题型一　利用图象求最值 【例1】　用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________. 答案　6 解析　在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6). 根据min{x＋2，10－x}(x≥0)含义可知，f(x)＝所以函数f(x)的图象为如图中的实线部分.观察图象知，点(4，6)即f(x)的图象的最高点，故f(x)的最大值为6. 思维升华　利用图象求函数最值的步骤： (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值. 【训练1】　已知函数f(x)＝则函数f(x)的最大值、最小值分别为________. 答案　2，－ 解析　作出f(x)的图象如图所示.由图象可知，当x＝2时，f(x)取得最大值2； 当x＝. 时，f(x)取得最小值－ 故f(x)的最大值为2，最小值为－. 题型二　利用函数的单调性求最值 【例2】　已知函数f(x)＝(x>0). (1)求证：f(x)在(0，1]上为增函数； (2)求函数f(x)的最大值和最小值. (1)证明　∀x1，x2∈(0，1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝＋1)＋1)－ ＝＋1）). ＋1）（x＋1）)＝＋1）（x＋1）,（x＋1）－x2（x 当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(0，1]上单调递增. (2)解　当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0， f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减. ∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值. 思维升华　(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)求函数的最值，除利用单调性外，还可以利用求函数值域的方法. (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 【训练2】　已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值. 解　设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数， 且x