第四章 培优课 破解与指数函数、对数函数有关的复合函数问题（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

培优课　破解与指数函数、对数函数有关的复合函数问题 与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数. 类型一　判断复合函数的单调性 【例1】　(1)函数f(x)＝的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由－x2＋x＋1≥0得≤x≤， ∴f(x)定义域为， ∵y＝－x2＋x＋1＝－＋在上单调递增，在上单调递减， ∴t＝在上单调递增，在上单调递减， 又y＝在R上单调递减，∴f(x)＝的单调递增区间为. (2)讨论函数f(x)＝loga(2x2－3x＋1)的单调性. 解　由2x2－3x＋1>0得函数的定义域为. 令t＝2x2－3x＋1，则t＝2x2－3x＋1在上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数. 当0<a<1时，y＝logat为减函数， 故函数f(x)＝loga(2x2－3x＋1)在上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数. 当a>1时，y＝logat为增函数， 故函数f(x)＝loga(2x2－3x＋1)在上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数. 类型二　已知复合函数的单调性求参数范围 【例2】　已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　　) A.∪[2，＋∞) B.∪(1，2] C.∪[2，＋∞) D.∪(1，2] 答案　C 解析　当0<a<1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递减且u>0恒成立，所以解得≤a≤. 当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立， 所以解得a≥2. 综上，a的取值范围为∪[2，＋∞). 类型三　求复合函数的值域 【例3】　(1)函数y＝log(x2－6x＋17)的值域是(　　) A.R B.(－∞，－3] C.[8，＋∞) D.[3，＋∞) (2)函数y＝(0≤x≤3)的值域为________. 答案　(1)B　(2) 解析　(1)x2－6x＋17＝(x－3)2＋8>0恒成立， ∴函数y＝log(x2－6x＋17)的定义域为R， 设t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8， 由复合函数的单调性可知函数y＝log(x2－6x＋17)在定义域R上先增后减，函数取到最大值即： y＝log(x2－6x＋17)≤log8＝－3， 函数的值域为(－∞，－3]. (2)令t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(0≤x≤3)， 则当x＝1时，t取得最小值，为1； 当x＝3时，t取得最大值，为5， ∴y＝(1≤t≤5)，∴≤y≤. 即所求函数的值域为，故答案为. 类型四　求复合函数的最值 【例4】　求函数y＝－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值. 解　因为2≤x≤4，所以log4≤logx≤log2， 即－2≤logx≤－1. 设t＝logx，则－2≤t≤－1. 所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝， 所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin ＝. 类型五　与复合函数有关的不等式问题 【例5】　定义在R上的函数f(x)＝4x－m·2x＋1＋m2－3. (1)当m＝1时，解不等式f(x)>1； (2)若在R上存在x0使得f(－x0)＝－f(x0)成立，求实数m的取值. 解　(1)当m＝1时，f(x)＝4x－2x＋1－2. 由f(x)>1得4x－2x＋1－2>1，即(2x)2－2·2x－3>0，即(2x－3)>0， 即2x－3>0得2x>3，得x>log23， 即不等式的解集为(log23，＋∞). (2)∵f(－x)＝4－x－m·2－x＋1＋m2－3， 由f(－x)＝－f(x)， 得4－x－m·2－x＋1＋m2－3＝－(4x－m·2x＋1＋m2－3)， 于是4x＋4－x－2m(2x＋2－x)＋2(m2－3)＝0①在R上有解， 令t＝2x＋2－x(t≥2)，则4x＋4－x＝t2－2， ∴方程①变为t2－2mt＋2m2－8＝0在区间[2，＋∞)内有解， 令g(t)＝t2－2mt＋2m2－8，由题意需满足以下条件： g(2)≤0或 即m2－2m－2≤0或 得1－≤m≤1＋或 解得1－≤m≤1＋或1＋≤m≤2， 综上1－≤m≤2， 即实数m的取值范围是[1－，2]. 类型六　与复合函数有关的恒成立问题 【例6】　已知函数f(x)＝log2是奇函数，a∈R. (1)求a的值； (2)对任意的x∈(－∞，0)，不等式f(2x＋1)>log2(m－2x)恒成立，求实数m的取值范围. 解　(1)法一　令＋1>0，则>0. ∴x<－a－1或x>－a. ∵f(x)是奇函数，∴其定义域关于原点