第一章 培优课 集合中的创新问题（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

培优课　集合中的创新问题 集合中创新问题的类型有：(1)新定义概念；(2)新定义性质；(3)新定义运算. 解决集合的创新问题一般从要紧扣新概念，新性质或新运算进行推理论证，把问题转化为我们熟知的问题来解决.解决此类问题的通性通法可归纳为三个步骤： 提取——确定解题方向； 加工——探求解题方法； 输出——转化进而解题. 类型一　新定义集合的概念 【例1】　若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}. 其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是(　　) A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 答案　D 解析　①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件，所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，所以③错.故选D. 类型二　新定义集合的性质 【例2】　非空集合A具有下列性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断一定成立的是(　　) (1)－1∉A；(2)∈A；(3)若x，y∈A，则xy∈A； (4)若x，y∈A，则x－y∉A(　　) A.(1)(3) B.(1)(4) C.(1)(2)(3) D.(2)(3)(4) 答案　C 解析　对于(1)，若－1∈A，则＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A；而对于x＝－1∈A，y＝0∈A时，显然无意义，不满足∈A，所以－1∉A，故(1)正确； 对于(2)，若x≠0且x∈A，则1＝∈A， ∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A， 依此类推可得知，∀n∈N*，n∈A， ∴2 020∈A，2 021∈A，∴∈A，(2)正确； 对于(3)，若x，y∈A，则x≠0且y≠0，由(2)可知，1∈A， 则∈A，所以，xy＝∈A，(3)正确； 对于(4)，由(2)得，1，2∈A，取x＝2，y＝1， 则x－y＝1∈A，所以(4)错误. 类型三　新定义集合的运算 【例3】　设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则下列等式不能恒成立的是(　　) A.(a*b)*a＝a B.[a*(b*a)]*(a*b)＝a C.b*(b*b)＝b D.(a*b)*[b*(a*b)]＝b 答案　A 解析　根据定义对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b， 故对于A选项，(a*b)*a＝a不满足新定义的形式，故其不一定恒成立，故A选项不正确； 对于B选项，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，故B选项正确； 对于C选项，b*(b*b)＝b满足定义，故C选项正确； 对于D选项，把(a*b)看成一个整体，故(a*b)*[b*(a*b)]＝b，故正确. 尝试训练 1.定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}.若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于(　　) A.{x|3<x≤4} B.{x|3≤x≤4} C.{x|3<x<4} D.{x|2≤x≤4} 答案　B 解析　A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}. 2.定义集合的商集运算为＝.已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　B 解析　由题意知，B＝{0，1，2}，＝，则∪B＝，共有7个元素. 3.若集合A具有以下性质： ①0∈A，1∈A； ②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A. 则称集合A是“好集”.给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”； ②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. 其中，正确说法的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾. ②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是