10.7离散型随机变量及其分布列 -2022届高考数学一轮复习讲义

10.7随机变量的分布列、期望与方差 一、学习目标 1.了解离散型随机变量及其分布列的概念； 2.理解离散型随机变量的分布列的性质； 3.理解期望、方差的概念，会求随机变量的期望与方差； 4.了解离散型随机变量常见的几类分布：①两点分布； ②二项分布； ③超几何分布. 2、 知识回顾： 1.离散型随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质： （1）一般地，若离散型随机变量 可能取的不同值为 ， 取每一个值 （ ）的概率 ，则表 称为离散型随机变量 的分布列. （2）离散型随机变量的分布列的性质：① ；② 2.一般地，若离散型随机变量 的分布列为 （1） 均值（期望）： 它反映了随机变量的取值的平均水平； （2） 方差： 它反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，刻画了随机变量的稳定性. 3.常见的离散型随机变量的分布列： （1）两点分布：若 的分布列为 ，其中 称为成功概率. （2）超几何分布：在含有 件次品的 件产品中，任取 件，其中恰有 件次品，则 ，其中 ，则称 服从超几何分布，其分布列为 （3）二项分布：在 次独立重复试验中，用 表示事件 发生的次数，设每次试验中事件 发生的概率为 ，则 此时称随机变量 服从二项分布，记作 ， 且 ， 3、 典例分析 例1（1）下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（ ） A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位H C．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξ D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X （2）袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ） A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3… 【答案】（1）B； （2）B. 例2．（1）若离散型随机变量 的分布列为： 0 1 则 的值为（ ） A．0 B． C． D．1 （3） 设随机变量 的分布列为 ， ， 为常数， 则 ______. 【答案】（1）B； （2） . 例3.已知盒子中有大小形状都相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球． （1）若依次从中取出3个球，记取出的3个球中白球个数为 ，求 的分布列及 、 ； （2）若每次从中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，记3次摸球中摸到白球的次数为 ，求 的分布列及求 、 ． 【答案】（1） 1 2 3 ， ； （2） 0 1 2 3 ， ． 例4．从甲地到乙地要经过 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ． （ ）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和均值． （ ）若有 辆车独立地从甲地到乙地，求这 辆车共遇到 个红灯的概率． 【答案】（1）随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以，随机变量 的分布列为 0 1 2 3 随机变量 的数学期望 . （2）设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 . 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 . 例5.（1）随机变量的取值为0，1，,2，若，，则_______. （2）设离散型随机变量 的分布列为 0 1 2 则 ________， ________. 【答案】（1） ； （2）2 例6.（1）已知随机变量 满足P（ =1）=pi，P（ =0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2< ，则 A． < ， < B． < ， > C． > ， < D． > ， > （2）设 ，随机变量 的分布列是 则当 在 内增大时，（ ） A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】（1）A； （2）D. 解析：（1）∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，故选A． （2） ， ， ，∴ 先增后减，因此选D. 四、课外作业 1．已知随机变量X服从二项分布X～B ，则P(X＝2)＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2.已知某种盆栽植物每株成活的概率为 ，各株是否成活相互独立，现有该盆栽植物 株.设 为其中成活的株数，若