专题09 人教版八上期末压轴题（尖子生必练）-2021-2022学年八年级数学上学期期末解答题必刷专题训练（人教版）

人教版八上期末压轴题（尖子生必练） 1．在等边△ABC中，D为边AC的中点，点N在边BC的延长线上，且∠MDN＝120°． （1）如图1，点M在边AB上，求证：DM＝DN； （2）如图2，点M在边AB的延长线上，试探究BM，BN与等边△ABC边长BC的数量关系； （3）如图3，点M在边AB上，若AM+CN＝BD，求∠ADM的度数． 【答案】（1）见解析；（2）BN﹣BM＝BC，理由见解析；（3）75°． 【分析】 （1）如图1，作DE//BC交AB于E，根据△ABC是等边三角形得出B＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，由DE//BC得出△ADE为等边三角形，进而可证△DCN≌△DEM（ASA），由全等的性质即可得出答案； （2）如图2，作DE//BC交AB于E，由（1）同理可证△DEM≌△DCN，得出EM＝CN，从而得出BM，BN与BC的数量关系； （3）如图3，作DE//BC交AB于E，DH⊥AB于点H，由（1）知，EM＝CN，由D为AC的中点以及DH⊥AB得出BD＝2DH，由△ADE为等边三角形，DH⊥AB，得出AH＝EH，由AM+CN＝BD，可证△HDM为等腰直角三角形，故可求出答案． 【详解】 （1）如图1，作DE∥BC交AB于E， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵D为AC的中点， ∴AD＝DC＝AC， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠B＝∠ADE＝∠ACB＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴AE＝DE＝AD， ∴DE＝DC， ∵∠MDN＝∠EDC＝120°， ∴∠EDM＝∠CDN， 在△DCN和△DEM中， ， ∴△DCN≌△DEM（ASA）， ∴DN＝DM； （2）如图2，作DE∥BC交AB于E， 由（1）同理可证△DEM≌△DCN， ∴EM＝CN， ∴BN﹣BM＝BC+CN﹣EM+BE＝BC+BE＝BC； （3）如图3，作DE∥BC交AB于E，DH⊥AB于点H， 由（1）知，EM＝CN， ∵D为AC的中点， ∴∠ABD＝30°， ∵DH⊥AB， ∴BD＝2DH， ∵△ADE为等边三角形，DH⊥AB， ∴AH＝EH， ∵AM+CN＝BD， ∴AH+EH+EM+EM＝2DH， 即EH+EM＝DH， ∴MH＝DH， 即△HDM为等腰直角三角形， ∴∠AMD＝45°， ∴∠ADM＝180°﹣∠A﹣∠AMD＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等边三角形的性质，掌握做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1　 　S2（填“＞、＝、＜”） 【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）= 【分析】 （1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，进而可得∠BAF=∠ADH，然后可证△ABF≌△DAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明△DHG≌△EQG可求解问题； （3）过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M，由题意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，则有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，进而可得OD=NE，通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题． 【详解】 解：（1）∵，∴； （2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴△ABF≌△DAH， ∴AF=DH， 同理可知AF=EQ， ∴DH=EQ， ∵DH⊥FG，EQ⊥FG， ∴， ∵ ∴△DHG≌△EQG， ∴DG=EG，即点G是DE的中点； （3），理由如下：如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M ∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形 ∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE ∵DO⊥AF，CM⊥OD， ∴∠AOD=∠CMD=90°