解密04 三角函数恒等变换（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密04 三角恒等变换 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识相结合． 2021年全国新课标甲9 2020课标全国Ⅲ9 2019课标全国Ⅱ10 2018课标全国Ⅱ15 2018课标全国Ⅲ4 ★★★★ 三角恒等变换的综合应用 2021课标全国Ⅰ10 2020课标全国Ⅰ9 2019课标全国Ⅰ17 ★★ 核心考点一 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 ☆技巧点拨☆ 公式的常见变形： （1） ； ． （2）降幂公式： ； ； ． （3）升幂公式： ； ； ； ． （4）辅助角公式： EMBED Equation.DSMT4 ，其中 ， ． 例题1．在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，且 ，则 等于（ ） A．3 B． C．3或 D．-3或 【答案】A 【分析】 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，故选：A. 例题2．在 中，角 所对的边分别为 ，满足 ，则 （ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由 ，得 ， 所以 ， ，所以 , ，所以 ，因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，解得 ，故选：C 例题3．已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】由 ，可得 ， 两边平方得 ，可得 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 联立方程组，可得 ，所以 ， 所以 .故选：A. 例题4．已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 ， ，又 ， ， ， ，解得： ， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B. 例题5．已知 ， 为第二象限角，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为 为第二象限角，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，故选：A. 例题6．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 EMBED Equation.DSMT4 ，故选：A. 例题7．已知函数 ，则（ ） A． 的最大值是 B． 的图象关于直线 对称 C． 在区间 上单调递增 D． 在区间 内有4个极值点 【答案】D 【分析】 ， 因为 ，所以 ，所以 ，故A错误； ，故B错误； 由 得 ， 当 时， 在区间 上单调递增，当 时， 在区间 上单调递增，故C错误； 令 得 ， 所以 ，或 ， 得 ，或 ， 当 时， ，故D正确. 故选：D. 例题8．．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 ， ， ， ，解得 ， ， .故选：B 例题9．已知 .则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据 ，利用平方关系和二倍角的余弦公式得到 ，然后由 求解. 【详解】 因为 ， 所以 ，因为 ，所以 ， 所以 ， .故选：D. 核心考点二 三角恒等变换的综合应用 例题1．已知函数 ，则（ ） A． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到 B． 在 上单调递增 C． 在 内有2个零点 D． 在 上的最大值为 【答案】BC 【分析】由题得 ， 由 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，所以选项A错误；令 ， 得其增区间为 ，所以 在 上单调递增，所以选项B正确； 令 得 ，得 ，又 ． 所以 可取 ，即有2个零点，所以选项 正确；由 得 ，所以 ，所以选项D错误．故选：BC． 例题2．已知 ，则（ ） A． ， 的最小正周期为 B． ， C． ，使得 为偶函数 D． ，使得 为奇函数 【答案】BC 【分析】 ，对于A选项，取 ，则 为常函数，A错； 对于B选项， ， ，B对； 对于C选项，取 ，则 ，此时函数 为偶函数，C对； 对于D选项，若函数 为奇函数，由 ， 得 ， 可得 ，但 ，则 ，可得 ，D错 故选：BC. 例题3．若 ， ，且 ， ，则 的值是______． 【答案】 【分析】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，所以 .故答案为： . 例题4．已知向量 ， ，若m、n是函数 两零点，且满足 的最小值为 ． （1）求 的表达式； （2）存在最小的正数 ，使得 为偶函数，求 在 上的递减区间． 【答案】 （1） （2） ， . 【分析】解：由题意，向量 ， ， 可得 ， 因为