解密03 导数及其应用质（分层训练）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

( A组 基础练 )解密03 导数及其应用 1．（2021·全国·高三）已知，曲线在点处的切线方程为，则的极大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，， 进而可得，解得， 故， 由，解得或；由，解得. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，且的极大值为. 故选：C 2．（2020·河北·藁城新冀明中学高三）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 由函数为奇函数 所以 由 所以 所以，则 所以所以所求切线方程为，即故选：B 3．（2021·四川·高三期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】．当时，,因为切线与直线垂直，直线斜率为，所以切线斜率为，即，得： 故选：A 4．（2021·陕西金台·高三阶段练习（理））已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B解：由题意有两个不等实根， 即有两个不等实根， 设， 则， 当时，，递增， 当时，，递减， 时，为极大值也是最大值，时，，且， 当时，，所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．故选：B 5．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，若存在实数使不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解：，则， 令，则， 当时，，， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为， 当时，，， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，综上所述，，∴，即. 故选：C. 6．（2021年北京市高考数学试题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有个1零点； ③存在负数，使得恰有个3零点； ④存在正数，使得恰有个3零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 7．（2021·黑龙江·铁人中学高三）已知函数，若对，，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】令，则， 当时，，所以在单调递增， 由可得，即， 当时，，若时，， 所以，即在恒成立， 令，，则，所以在单调递增， 则，所以，又，则； 若，则当时，，， 此时恒成立，满足题意. 综上，，即的最小值为. 故答案为：. 8．（2021·河南·温县第一高级中学高三）已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为_______. 【答案】8 【分析】因为实数满足，故在圆：上. 而，设， 则表示到曲线上的点的距离的平方. 又， 因为在为增函数，且， 故当时，即；当时，即； 故在上为减函数，在为增函数，故的最小值为. 故到曲线上的点的距离最小值为， 而圆的半径为，故圆上的点到曲线上的点的距离最小值为， 故的最小值 为. 故答案为：. 9．（2021·天津·南开中学高三已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】： 因为当时，， 所以当时，函数为偶函数， 又当时，， 则当时，， 则当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可， 作出函数在时的函数图像，如图所示， 当时，在区间上恰有三个不同的实数解，符合题意； 当时，当时，在上为增函数， 所以， 当函数过点时，， 当函数过点时，， 当函数过点时，， 当函数过点时，， 结合图像，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解， 则或， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 10．（2021·山东潍坊·高三）已知函数. （1）若函数在恒成立，求实数的取值范围； （2）若在区间上存在极大值，试判断与的大小，并说明理由. 【答案】 （1） （2） 【分析】，因为在区间上， 当时，恒成立， 故在递增，而，所以合题意； 当时，由，解得：， 则在递减，在递增， 则，解得：， 综上，； （2）由函数，则， 令，可得，因为在区间上， 当，即时，，在递增，此时， 故，函数在上单调递增，此时不存在极大值， 当时，令，解得：， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递减，在，上单调递增