解密03 导数及其应用（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密05 导数及其应用 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 导数的概念、几何意义及计算 从近三年高考情况来看，导数的概念及计算一直是高考中的热点，对本知识的考查主要是导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则，会求简单的复合函数的导数． 导数的应用也一直是高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内容，一般以基本初等函数为载体，考查导数的相关知识及应用，题型有选择题、填空题，也有解答题中的一问，难度一般较大，常以把关题的位置出现．解题时要熟练运用导数与函数单调性、极值与最值之间的关系，理解导数工具性的作用，注重数学思想和方法的应用． 2021年全国新课标乙11 2021年全国新课标甲13 2021课标全国Ⅰ7 2020课标全国Ⅰ6 2020课标全国Ⅲ10 2019课标全国Ⅰ13 2019课标全国Ⅱ20 2019课标全国Ⅲ6 2018课标全国Ⅰ5 2018课标全国Ⅱ13 2018课标全国Ⅲ14 ★★★★★ 导数的应用 2021课标全国Ⅰ21 2021课标全国Ⅱ22 2021年全国新课标乙21 2021年全国新课标甲22 2020课标全国Ⅰ21 2020课标全国Ⅱ21 2020课标全国Ⅲ21 2019课标全国Ⅰ20 2019课标全国Ⅱ20 2019课标全国Ⅲ20 2018课标全国Ⅰ21 2018课标全国Ⅱ21 2018课标全国Ⅲ21 ★★★★★ 核心考点一 导数概念及几何意义 ☆技巧点拨☆ 导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下： （1）已知切点P(x0，y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上． ②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． 例题1．若直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】：设直线 与曲线 相切于点 ， ， ， 可得切线的斜率为 ，则 ，所以 ， 又切点 也在直线 上，则 ， ， ， 设 ， ， ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 可得 的最大值为 ， 即 的最大值为 . 故选：D. 例题2．若曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 ，依题意可得 ，即 ，因为 ，所以 . 故选：D 例题3．若 ，则 的切线的倾斜角 满足（ ） A．一定为锐角 B．一定为钝角 C．可能为直角 D．可能为0° 【答案】A 【分析】 ， 设 ，则 ， 时， ， 递减， 时， ， 递增， 而 ，所以 时， ，所以 ， 切线斜率均为正数，倾斜角为锐角． 故选：A． 例题4．已知 ，若过一点 可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为 ，对函数 求导得 ，则切线斜率为 ， 所以，切线方程为 ，即 ， 所以， ，可得 ， 令 ，其中 ，由题意可知，方程 有两个不等的实根. . ①当 时，对任意的 ， ，此时函数 在 上单调递增， 则方程 至多只有一个根，不合乎题意； ②当 时，当 时， ，此时函数 单调递减， 当 时， ，此时函数 单调递增. 由题意可得 ，可得 . 故选：A. 例题5．已知函数 的导数为 ，且 ，则 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由 得 ，当 时， ，解得 ，所以 ， . 故选：B 例题6．设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为 ，若在 上 恒成立，则称函数 在 上为“严格凸函数”．在下列函数中，在 上为“严格凸函数”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【