解密02 函数的应用（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密02 函数的应用 内容索引 核心考点1 函数零点 核心考点2函数模型应用 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 函数的零点 高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视. 2018课标全国Ⅰ9 2018课标全国Ⅲ15 2017课标全国Ⅲ6 2017课标全国Ⅲ11 ★★★★ 函数模型及其应用 2019课标全国Ⅱ4 2020课标全国Ⅲ4 ★★ 核心考点一 函数的零点 ☆技巧点拨☆ 函数零点个数的判断方法 （1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． （3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 例题1方程 的实数根叫做函数 的“新驻点”.如果函数 的“新驻点”为 ，那么 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设， ，则 的根为 的“新驻点”， 若 且 ，即 的零点为 的“新驻点”， ∴ ，即 单调递增， ， ，根据零点存在性定理知： 的零点在 内， ∴ 的“新驻点”范围是 ，即 的取值范围为 . 故选：B 例题2．已知命题 ：函数 在 内恰有一个零点；命题 ：函数 在 上是减函数．若 为真命题，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若命题 ：函数 在 内恰有一个零点为真命题， 由零点存在定理可知 ，解得： ； 若命题 ：函数 在 上是减函数为真命题， 则 ，解得 ；因为 为真命题，所以 为真命题， 为真命题， 为假命题， 所以 ，可得 ，所以实数 的取值范围是 ．故选：C. 例题3．已知函数f(x)= 若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（ ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】由题设，分段函数的图象如下： 若不等式有 且 ，要使 上 恰有1个整数解， 由图及函数性质知： 或 或 ， ∴对应解集端点的最值分别为 或 或 ，而 ， ∴ 或 或 ，故a的最大值是8.故选：D 例题4．设函数f(x) 满足f( )=f(x)，f(x)=f(2 x)，且当 时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos |，则函数h(x)=g(x)-f(x)在 上 的零点个数为 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以当x∈[1,2]时，2－x∈ [0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3. 当x∈ 时，g(x)＝xcos (πx)；当x∈ 时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x)，g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g ＝g ＝0，作出函数f(x)，g(x)的大致图象，函数h(x)除了0,1这两个零点之外，分别在区间 ， ， ， 上各有一个零点，共有6个零点，故选B. 例题5．已知函数 ，其中 ，且 ，若 在 上单调，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】函数 ，其中 ，且 ， 因为函数 在 上单调，又因为函数 在 上为减函数， 所以函数 在 上为减函数，则函数 在 上为减函数，可得 ， 且有 ，解得 .综上可知，实数 的取值范围是 .故选：B. ☆技巧点拨☆ 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围 根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系 要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法： ①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间； ③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小. 核心考点二 函数的模型应用 ☆技巧点拨☆ 解函数应用题的一般步骤，可