专题微课 函数性质的综合应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数性质的综合应用，从建构知识体系入手，先梳理单调性、奇偶性的判断及参数问题等基础内容，再衔接比较大小、解不等式等性质应用，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于融通学科素养，通过奇函数单调性比较大小等例题渗透数学抽象、逻辑推理，结合数形结合思想解析问题。采用题型分类与思维建模（如总结比较大小策略），帮助学生形成解题思路提升数学思维，教师可直接用于专题教学提高效率。

专题微课 函数性质的综合应用 建构知识体系 融通学科素养 1.浸润的核心素养 奇偶性、单调性、对称性是函数最重要的三个性质,通过学习,学生利用函数图象去研究函数的性质,学会用抽象的符号语言描述函数的单调性、奇偶性及最大(小)值,发展学生的数学抽象、逻辑推理等学科素养. 2.渗透的数学思想 (1)在解决与函数性质有关的问题时,常利用函数的图象来解决,即利用数形结合的思想方法,将问题化难为易、化抽象为具体. (2)如果涉及到的函数中含有参数或解题结果不能确定,需要应用分类讨论的思想方法,把整个问题划分为几个部分逐一解决,最后合并为一种结果. (3)函数、方程与不等式密切相关,相互转化,在解决函数的定义域、值域或与其有关的问题时,一般把函数问题转化为不等式、方程等来解决,即应用转化与化归、函数与方程的思想方法. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用函数单调性与奇偶性比较大小 题型(二)　利用函数奇偶性与单调性解不等式 题型(三) 函数奇偶性、单调性与对称性的综合 CONTENTS 目录 4 题型(四)　函数的新定义问题 5 课时跟踪检测 题型(一)　 利用函数单调性与奇偶性比较大小 01 [例1]　已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-2),b=g(1), c=g(3),则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a √ 解析:法一　易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,∴a=g(-2)=g(2), ∵奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0.∴g(x)在(0,+∞)上单调递增. ∴g(1)<g(2)<g(3),即b<a<c. 法二　(特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+∞) 上单调递增,a=g(-2)=4,b=g(1)=1,c=g(3)=9,从而可得b<a<c. |思|维|建|模| 利用函数单调性与奇偶性比较大小的求解策略 (1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小. (2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 1.已知f(x)是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1), f(0)的大小关系是 (　 ) A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 针对训练 √ 解析:∵函数f(x)为奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.∴f(x)在R上单调递增.∴f(-1)<f(-0.5)<f(0). 2.已知偶函数f(x)在(-∞,-2]上单调递增,则下列关系式成立的是 (　 ) A.f<f(-3)<f(4) B.f(-3)<f<f(4) C.f(4)<f(-3)<f D.f(4)<f<f(-3) √ 解析:法一:∵f(x)为偶函数,∴f(-4)=f(4).又f(x)在(-∞,-2]上单调递增, ∴f(-4)<f<f(-3),即f(4)<f<f(-3). 法二:∵f(x)为偶函数,且在(-∞,-2]上单调递增,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,其图象关于y轴对称.又4>>|-3|,∴f(4)<f<f(-3). 题型(二)　 利用函数奇偶性与单调性解不等式 02 [例2]　已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 (　 ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] √ 解析:∵函数f(x)为奇函数,f(1)=-1,∴f(-1)=1.又函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,-1≤f(x-2)≤1,∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).∴-1≤x-2≤1. 解得1≤x≤3.故选D. |思|维|建|模| 利用函数奇偶性与单调性解不等式的策略 (1)利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式; (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,去掉不等式中的“f”,转化为简单不等式(组)求解. [提醒]　列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域. 针对训练 3.已知函数f(x)是定义在区间[-a-1,2a]上的偶函数,且在区间[0,2a]上单调递增,则不等式f(x-1)<f(a)的解集为 (　 ) A.[-1,3] B.(0,2) C.(0,1)∪(2,3] D.[-1,0)∪(1,2) √ 解析:因为函数f(x)是定义在区间[-a-1,2a]上的偶函数, 所以-a-1+2a=0,解得a=1, 故f(x-1)<f(a)可化为f(|x-1|)<f(1), 因为f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以|x-1|<1,解得0<x<2. 4.已知奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2)=0,则不等式(x+1)f(x+1)>0的解集为　　　 .  (-∞,-3)∪(1,+∞) 解析:∵f(x)是奇函数且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(2)=0,∴f(-2)=0, 当x+1>0,即x>-1时,由(x+1)f(x+1)>0,可得f(x+1)>0,即x+1>2,解得x>1; 当x+1<0,即x<-1时,由(x+1)f(x+1)>0,可得f(x+1)<0,即x+1<-2,解得x<-3. 综上,不等式(x+1)f(x+1)>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞). 题型(三)　 函数奇偶性、单调性与对称性的综合 03 (1)函数自身的对称性 ①若函数y=f(x)关于直线x=a对称,则f(a-x)=f(a+x); ②若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数关于点(a,0)对称. (2)两个函数图象的对称 ①函数y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称; ②函数y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称; ③函数y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称. [例3]　已知定义域为R的函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,且f(x+1)为偶函数,若f(3)=1,则不等式 f(2x+1)<1的解集为 (　 ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) √ 解析:∵f(x+1)是偶函数,∴f(1-x)=f(1+x).故f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,1)上单调递减.∵f(3)=1, ∴f(-1)=f(3)=1.∴f(2x+1)<1⇔-1<2x+1<3.解得-1<x<1.故选A. |思|维|建|模| 解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法 图象法 根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论 性质法 根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决求值和比较大小的问题 针对训练 5.若函数y=f(x)在(0,2)上单调递增,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(1)<f<f　 B.f<f(1)<f C.f<f<f(1)　 D.f<f(1)<f √ 解析:∵y=f(x+2)是偶函数,∴f(2-x)=f(2+x).故y=f(x)的图象关于直线x=2对称. ∴f=f,f=f.又f(x)在(0,2)上单调递增,<1<, ∴f<f(1)<f,即f<f(1)<f. 题型(四)　函数的新定义问题 04 √ [例4]　(多选)对∀x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪,y=[x]被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是 (　 ) A.∀x∈R,x<[x]+1 B.y=[x],x∈R是奇函数 C.函数y=x-[x](x∈R)的值域为[0,1) D.∀x,y∈R,[x]+[y]≤[x+y]恒成立 √ √ 解析:设{x}是x的小数部分,则由取整函数的定义知x=[x]+{x}.当x为整数时, {x}=0,则[x]=x,当x不为整数时,0<{x}<1,则[x]<x,且x<[x]+1成立, 即[x]≤x<[x]+1.所以∀x∈R,x<[x]+1成立,故A正确;当0<x<1时,y=[x]=0, 当-1<x<0时,y=[x]=-1,故y=[x],x∈R不是奇函数,故B错误;由选项A中分析知x-1<[x]≤x,所以0≤x-[x]<1.所以函数y=x-[x](x∈R)的值域为[0,1),故C正确;由取整函数的定义知∀x,y∈R,[x]≤x,[y]≤y,所以[x]+[y]=[[x]+[y]]≤[x+y],故D正确. |思|维|建|模|　解决函数“新定义”问题的策略 理解新函 数的定义 深刻理解题目中新函数的定义,新函数所具有的性质或满足的条件,将定义、性质等与所求之间建立联系 转化 将题目中的新函数与已学函数联系起来,仔细阅读已知条件进行分析,通过类比已学函数的性质、图象解决问题,或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式 代入 特殊值 如果新函数的某一性质对某些数值恒成立,可以通过代入特殊值,得到特殊函数值甚至函数解析式,从而解决问题 针对训练 6.(多选)设函数y=f(x)的定义域为R,对于任意给定的正数m,定义函数fm(x)=若函数f(x)=-x2+2x+11,则下列结论正确的是(　 ) A.f3(3)=3 B.f3(x)的值域为[3,12] C.f3(x)的单调递增区间为[-2,1] D.f3(x+1)为偶函数 √ √ √ 解析:因为等式-x2+2x+11=3的解为x=4或x=-2,所以-x2+2x+11≥3的解集为 -2≤x≤4,-x2+2x+11<3的解集为x<-2或x>4.所以f3(x)= 对于A选项,f3(3)=-9+6+11=8,故错误;对于B选项,当-2≤x≤4时,f3(x)=-x2+2x+11 =-(x-1)2+12∈[3,12],当x∈(-∞,-2)∪(4,+∞)时, f3(x)=3,所以f3(x)的值域为[3,12],故正确;对于C选项,当-2≤x≤4时,f3(x)=-x2+2x+11=-(x-1)2+12在区间[-2,1]上单调递增,当x<-2或x>4时,函数为常数函数,所以f3(x)的单调递增区间为[-2,1],故正确;对于D选项,函数f3(x)图象关于x=1对称,其图象向左平移一个单位得到f3(x+1)的图象,此时f3(x+1)的图象关于x=0对称,即关于y轴对称.故f3(x+1)为偶函数,故正确.故选B、C、D. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.下列函数,既是奇函数又是增函数的为 (　 ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x| 解析:A是增函数,不是奇函数;B和C都不是定义域内的增函数,排除;只有D符合题意,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上的解析式为f(x)=x+1,则下列大小关系正确的是 (　 ) A.f(1)>f(2) B.f(1)>f(-2) C.f(-1)>f(-2) D.f(-1)<f(2) 解析:∵当x≥0时,f(x)=x+1单调递增,∴f(1)<f(2),又∵f(x)为偶函数, ∴f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),∴f(-1)<f(2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.设函数f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上单调递减,若f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为 (　 ) A.(-1,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2) 解析:利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图, 所以不等式xf(x)<0可化为或 由图可知x>2或x<-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.(多选)若函数f(x)同时满足: ①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0; ②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有<0, 则称函数f(x)为“理想函数”. 下列函数中的“理想函数”有(　 ) A.f(x)= B.f(x)=x2 C.f(x)= D.f(x)=- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:①要求函数f(x)为奇函数,②要求函数f(x)为减函数.A中的函数是奇函数但在整个定义域上不是减函数,B中的函数是偶函数而且也不是减函数,C和D中的函数既是奇函数又是减函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)=f(4-x),当-2≤x<0时, f(x)=,则f等于(　 ) A.-2 B.- C. D.2 解析:∵f(x)=f(4-x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称.∴f=f.又函数f(x)为奇函数,∴f=-f=-(-2)=2,即f=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.若函数f(x)满足在定义域内存在非零实数x,使得f(-x)=f(x),则称函数f(x)为“有偶函数”.若函数f(x)=是在R上的“有偶函数”, 则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为f(x)为R上的“有偶函数”,故存在非零实数x,使得f(-x)=f(x).若x<0,则-x>0,故方程-x-1=ax2-x有解,即a=--在(-∞,0)上有解. 而y=--=-+,又<0,故y=--的值域为,即a≤.若x>0,则-x<0,故方程x-1=ax2+x有解,即a=-在(0,+∞)上有解. 而y=-=-+,又>0,故y=-的值域为,即a≤. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.已知偶函数y=f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且图象经过点(-1,0)和(3,5),则当x∈[-3,-1]时,函数y=f(x)的值域是 (　 ) A.[0,5]　 B.[-1,5]　 C.[1,3]　 D.[3,5] 解析:由题意,得函数在[-3,-1]上单调递减,且f(-3)=f(3)=5,f(-1)=0,故函数的值域为[0,5]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 8.(多选)1837年,德国数学家狄利克雷第一个引入了现代函数概念:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,那么y是x的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”: D(x)=(Q表示有理数集合),关于此函数,下列说法正确的是(　 ) A.D(x)是偶函数 B.∀x∈R,D(D(x))=1 C.对于任意的有理数t,都有D(x+t)=D(x) D.不存在三个点A(x1,D(x1)),B(x2,D(x2)),C(x3,D(x3)),使△ABC为正三角形 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由D(x)定义知,定义域关于原点对称,若x∈Q,则-x∈Q,若x∈∁RQ, 则-x∈∁RQ,即有D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,A正确;由解析式知,∀x∈R, D(x)=1或D(x)=0,即D(D(x))=1,B正确;任意的有理数t,当x∈Q时,x+t∈Q即D(x+t)=D(x),当x∈∁RQ时,x+t∈∁RQ即D(x+t)=D(x),C正确;若存在△ABC为正三角形,则其高为1,边长为,所以当A,B(0,1), C时成立,存在满足题意的三个点,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知偶函数f(x)在(0,+∞)上的最小值为2 023,则f(x)在(-∞,0)上的最小值为____________. 2 023 解析:因为偶函数的图象关于y轴对称,所以f(x)在对称区间内的最值相等.又当x∈(0,+∞)时,f(x)min=2 023,故当x∈(-∞,0)时,f(x)min=2 023. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知奇函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且f(3)=2,则f(1)=_______. 2 解析:由奇函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,可得f(x)+f(2-x)=0.令x=3,得f(3)+f(-1)=0.又f(3)=2,所以f(-1)=-2.所以f(1)=-f(-1)=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知函数f(x)是偶函数,且其在(0,+∞)上单调递增.请你写出一个符合以上条件的函数_________________________. f(x)=|x|(答案不唯一) 解析:因为函数f(x)=|x|的定义域为R,且f(-x)=|x|=f(x), 所以函数f(x)=|x|为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)=|x|满足题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知函数y=f(x)为奇函数,g(x)=,若f(x)与g(x)图象仅有四个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),则y1+y2+y3+y4=________. 0 解析:函数g(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又g(-x) ==-=-g(x),所以函数g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,所以g(x)的图象关于原点对称,又函数y=f(x)为奇函数,即f(x)的图象也关于原点对称,所以它们的四个交点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)分为两组关于原点中心对称,所以y1+y2+y3+y4=2×0+2×0=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(1)=0, 求不等式<0的解集. 解:∵f(x)为奇函数,<0,∴<0. ∵f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(1)=0, ∴当x>1时,f(x)<0,<0. ∵奇函数的图象关于原点对称, ∴在(-∞,0)上f(x)单调递减且f(-1)=0. ∴当x<-1时,f(x)>0,<0. 综上,不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b∈R,当a+b≠0时, 都有>0. (1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(3分) 解:因为a>b,所以a-b>0. 由题意得>0,所以f(a)+f(-b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-b)=-f(b),所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.(7分) 解:由(1)知f(x)为R上的增函数,因为f(1+m)+f(3-2m)≥0,所以f(1+m)≥-f(3-2m), 即f(1+m)≥f(2m-3).所以1+m≥2m-3,即m≤4. 所以实数m的取值范围为(-∞,4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)由于函数y=x+(k>0)的图象形状如勾,因此我们称形如“y=x+(k>0)”的函数叫做“对勾函数”,该函数有如下性质:在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增. (1)已知函数f(x)=2x+-6,x∈[1,4],利用题干性质,求函数f(x)的单调区间和值域; (7分) 解:函数f(x)=2x+-6,x∈[1,4],令2x-1=t∈[1,7],则y=t+-5, 由对勾函数性质知,函数y=t+-5在[1,2]上单调递减,在[2,7]上单调递增, 而t=2x-1在[1,7]上单调递增,又当t∈[1,2]时,x∈,当t∈[2,7]时,x∈, 因此f(x)在上单调递减,在上单调递增,f(x)min=f=-1,f(1)=0,f(4)=,所以函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是,值域是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若对于∀x∈[1,+∞),都有g(x)=≥m恒成立,求m的取值范围.(8分) 解:当x∈[1,+∞)时,g(x)==(x+1)++2, 令x+1=u∈[2,+∞),显然函数y=u++2在[2,+∞)上单调递增, 则当u=2时,ymin=5,于是当x=1时,g(x)取得最小值5, 因为对∀x∈[1,+∞),都有g(x)≥m恒成立, 则m≤5,所以m的取值范围是(-∞,5]. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $