第一章 预备知识 章末复习提升（课件）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

章末复习提升 INNOVATIVE DESIGN 网络构建 要点聚焦 内容索引 2 网络构建 形成体系 1 3 索引 索引 要点聚焦 类型突破 2 6 要点一　根据集合运算和关系求参数的值(范围) 集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解； (3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解； (4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解. 索引 /////// 【例1】　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}，且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________. －1 2 解析　∵B∪C＝{x|－3<x≤4}， ∴A(B∪C)，∴A∩(B∪C)＝A. 由题意得{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}， ∴a＝－1，b＝2. 索引 (2)已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围. 解　因为A∩B≠，所以A≠， 即方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根， 所以Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0， 即(a＋1)(2a－3)≥0， 又B＝{x|x<0}， 所以方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根. 若方程x2－4ax＋2a＋6＝0有根，但没有负根， 索引 由①②取公共部分得a≤－1. 即当A∩B≠时，实数a的取值范围为{a|a≤－1}. 索引 【训练1】 已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}. (1)求A∪B，(∁RA)∩B. 解　因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}， 所以A∪B＝{x|2≤x<10}. 因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁RA＝{x|x<2，或x≥7}， 则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}. 索引 (2)若A∩C≠，求实数a的取值范围. 解　因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠， 所以a>2，所以实数a的取值范围是{a|a>2}. 索引 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想. 要点二　分类讨论思想在充要条件中的应用 索引 /////// 【例2】　已知关于x的一元二次方程(m∈Z) mx2－4x＋4＝0，① x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，② 求两方程的根都是整数的充要条件. 又∵m∈Z，∴m＝－1或m＝1. 当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根； 索引 当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，有整数根x＝2， 方程②为x2－4x－5＝0，有整数根x＝－1或5， 则此时①和②均有整数根. 从而①和②均有整数根可得m＝1；反之，m＝1可得方程①和②均有整数根， 综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1. 索引 对于q，∵x2－ax≤x－a，∴x2－(a＋1)x＋a≤0， 即(x－a)(x－1)≤0. ①当a<1时，a≤x≤1； ②当a＝1时，x＝1； ③当a>1时，1≤x≤a. 索引 设q对应的集合为A，p对应的集合为B， ∵p的否定是q的否定的充分条件. ∴∁RB⊆∁RA，即A⊆B. 当a<1时，AB，不合题意； 当a＝1时，AB.符合题意； 当a>1时，1≤x≤a，要使A⊆B，则1<a<3. 综上，符合条件的实数a∈[1，3). 索引 (1)我们解题时常遇到“任意x∈I，y都满足某些性质”的问题.这类问题称为恒成立问题.解决这类问题的方法有三种： ①直接法：任意x∈I，y>a恒成立，即任意x∈I，ymin>a成立；任意x∈I，y<a恒成立，即任意x∈I，ymax<a成立. ②分离参数法：将已知不等式经过变形分离出参数，转化为求函数的最值问题.若y>a恒成立，则只需a<ymin；若y<a恒成立，则只需a>ymax. ③变换主元法：在已知不等式中，我们习惯把x看成主变元，变量a看成参数，有时若把a看成主变元，x看成参数，则可简化解题过程. 要点三　与量词相关的不等式“恒成立”和“存在性”问题 索引 /////// (2)我们解题时还会遇到“存在x∈I，y满足某些性质”的问题.这类问题称为存在性问题.解决这类问题一般要先对结论作出存在性的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出合理结论，则可肯定假设；若推出矛盾，则可否定假设. 索引 【例3】　是否存在实数m，使不等式x2＋2x＋m>0对任意的x∈R恒成立？若存