第一章 1 培优课 直击本质——集合中的新定义问题（课件）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

培优课　直击本质——集合中的新定义问题 INNOVATIVE DESIGN 集合创新问题的类型及解题策略 1.集合的创新题，其创新性主要体现在新定义与新运算上.通过给出一个新概念或约定一种新运算或给出几个新的模型等，创设一种全新的问题情境，以达到考查同学们独立获取信息、加工信息的能力的目的. 索引 2.解题策略 (1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型集合问题的关键所在. (2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. (3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可. 索引 类型一　新定义集合的概念 【例1】　对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有 A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}， 索引 /////// 据此，试回答下列问题： (1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D； (2)已知M×N＝{(1，2)，(2，2)}，求集合M，N； (3)若A中有3个元素，B中有4个元素，试确定A×B中有几个元素. 解　(1)C×D＝{(a，1)，(a，2)，(a，3)}. (2)∵M×N＝{(1，2)，(2，2)}，∴M＝{1，2}，N＝{2}. (3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的每一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的元素，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素个数应为m×n.故若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中元素的个数为3×4＝12. 索引 【例2】　若集合A具有以下性质： (1)0∈A，1∈A； 类型二　新定义集合的性质 ①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. A.0 B.1 C.2 D.3 C 索引 /////// 解析　①中，∵B＝{－1，0，1}，当x＝－1，y＝1时，x－y∉A，故①错误； ③中，∵A是“好集”，∴0∈A，若x，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A， ∴x－(－y)∈A，即x＋y∈A，故③正确.故选C. 索引 【例3】　在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质： (1)对任意a∈R，0*a＝a； (2)对任意a，b∈R，a*b＝b*a； (3)对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c. 给出下列四个结论： ①2*(0*2)＝0； ②(2*0)*(2*0)＝8； ③对任意a，b，c∈R，a*(b*c)＝b*(c*a)； ④存在a，b，c∈R，(a＋b)*c≠(a*c)＋(b*c). 其中，所有正确结论的序号是________. 类型三　新定义集合的运算 ②③④ 索引 /////// 解析　由题设有a*b＝(a*b)*0＝0*(ab)＋a*0＋b*0－2×0＝ab＋a＋b， 对于①，2*2＝2×2＋2＋2＝8，故①错误. 对于②，(2*0)*(2*0)＝2*2，由①中结果可知(2*0)*(2*0)＝8，故②正确. 对于③，对任意a，b，c∈R， a*(b*c)＝a*(bc＋b＋c)＝a(bc＋b＋c)＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋bc＋a＋b＋c， 而b*(c*a)＝b*(ac＋a＋c)＝b(ac＋a＋c)＋b＋ac＋a＋c＝abc＋ab＋ac＋bc＋a＋b＋c，故a*(b*c)＝b*(c*a)，故③正确. 对于④，取a＝b＝1，c＝1，则2*1＝2×1＋2＋1＝5，而(1*1)＋(1*1)＋2(1×1＋1＋1)＝6，故(1＋1)*1≠(1*1)＋(1*1)，故④正确.故答案为②③④. 索引 1.设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定， M－(M－P)等于(　　) A.M B.P C.M∪P D.M∩P 解析　当M∩P≠时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝＝M∩P，故选D. 尝试训练 索引 /////// 2.对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x