第一章 4.3 一元二次不等式的应用（课件）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

4.3　一元二次不等式的应用 INNOVATIVE DESIGN 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 课标要求 素养要求 从函数观点认识不等式，感悟一元二次不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 1.简单的分式不等式的解法 自主梳理 /////// 索引 点睛 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表. 索引 点睛 索引 2.一元二次不等式恒成立问题 索引 3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案. 索引 1.思考辨析，判断正误 × (1)求解m>y恒成立时，可转化为求y的最小值，从而求出m的范围.( ) 提示　m>y恒成立时，只需满足m>ymax. (2)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a范围是0<a<8.( ) √ √ 自主检验 /////// 索引 A 索引 3.下列不等式中解集为实数集R的是(　　) C 解析　当x＝－2时，选项A中的不等式不成立； 当x＝0时，选项B中的不等式不成立； 对于选项C，Δ＝1－4<0，且y＝x2－x＋1的图象开口向上，故y＝x2－x＋1的图象与x轴无交点，所以不等式x2－x＋1≥0的解集为R； 当x＝0时，选项D中的不等式不成立.故选C. 索引 4.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台. 解析　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去). 150 索引 课堂互动 题型剖析 2 14 题型一　分式不等式的解法 【例1】　解不等式： 解　原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0， /////// 索引 索引 索引 思维升华 索引 【训练1】　解下列不等式. 索引 索引 索引 角度1　无限制范围的恒成立 【例2】　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围. 题型二　不等式的恒成立问题 解　当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点. 综上，实数k的取值范围是(－1，0]. /////// 索引 (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解　∵－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4. 又∵－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意x恒成立. ∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0. 解得a≤－1或a≥4. ∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞). 索引 思维升华 索引 思维升华 索引 角度2　有限制范围的恒成立 【例3】　(1)当x∈[1，2]时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围. 解　令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在[1，2]上恒成立. ∴y＝0的根一个在(－∞，1)上，另一个在(2，＋∞)上. ∴实数m的取值范围是(－∞，－5). 索引 (2)对任意x∈[－1，1]，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求实数a的取值范围. 解　∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0，x∈[－1，1]恒成立， 即x2＋ax－4x＋4－2a>0，x∈[－1，1]恒成立. ∴(x－2)·a>－x2＋4x－4. ∵－1≤x≤1，∴x－2<0. y＝2－x在[－1，1]上y随x的增大而减小， ∴(2－x)min＝1，∴a<1. 故实数a的取值范围是(－∞，1). 索引 含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题，求解时主要有两种方法：一种是将参数分离，转化为恒成立问题；另一种是利用二次不等式根的分布及数形结合思想求解. 思维升华 索引 【例4】　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； 题型三　一元二次不等式的实际应用 解