第一章 4.1 一元二次函数（课件）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 INNOVATIVE DESIGN 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 课标要求 素养要求 从函数的观点认识方程，感悟数学知识之间的联系，重点提升数学抽象与数学运算素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 点睛 自主梳理 /////// 索引 2.二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质   a>0(开口向上) a<0(开口向下) 图象 性质 对称轴 直线________ 顶点 ____________ x＝h (h，k) 索引 性质 x的取值范围 (－∞，＋∞)或R y的取值范围 [k，＋∞) (－∞，k] 函数值的变化趋势 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而减小 在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而增大 在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而减小 最值 x＝h时，y有最小值，ymin＝k x＝h时，y有最大值，ymax＝k 索引 点睛 在画二次函数的图象或利用图象解决问题时，应注意以下几点：(1)a决定函数的开口方向；(2)判别式Δ决定与x轴是否有交点；(3)过定点(0，c)；(4)对称轴的位置.　　　 索引 3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac (1)当________时，方程有两个实数根x1，x2， Δ>0 点睛 索引 1.思考辨析，判断正误 × (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根.( ) 提示　交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根. × 提示　还要注意y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向. 自主检验 /////// 索引 (3)y＝－(x－1)2＋3的图象可由y＝－x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.( ) (4)函数y＝－3x2＋12x－8的图象与x轴有两个交点.( ) √ √ 索引 2.若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为(　　) A.－3 B.3 C.－2 D.2 D 索引 3.若方程5x2－bx＋c＝0的根为－1，3，则b＋c的值为(　　) A.5 B.－5 C.－25 D.10 B 索引 4.已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，则此二次函数的表达式为__________________. 解析　设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). y＝－2x2＋12x－8 所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8. 索引 课堂互动 题型剖析 2 15 题型一　待定系数法求二次函数解析式 【例1】　用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)已知二次函数的图象过点(－2，20)，(1，2)，(3，0)； 解　设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将(－2，20)，(1，2)，(3，0)分别代入解析式， ∴所求二次函数的解析式为y＝x2－5x＋6. /////// 索引 (2)已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，且图象过点(2，25)； 解　∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2－2(a≠0). ∵图象过点(2，25)， ∴a(2＋1)2－2＝25，解得a＝3， ∴所求二次函数的解析式为y＝3(x＋1)2－2， 即y＝3x2＋6x＋1. 索引 (3)已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，且图象过点(－1，8). 解　∵二次函数图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)， ∴设所求二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－3)(a≠0). 又∵图象过点(－1，8)， ∴8＝a(－1＋2)×(－1－3)，解得a＝－2， ∴所求二次函数的解析式为y＝－2(x＋2)(x－3)， 即y＝－2x2＋2x＋12. 索引 二次函数常见解析式的形式有三种：一般式、顶点式、两根式.解题时合理地选择解析式能起到事半功倍的效果.一般地，若已知函数图象经过三点，常设一般式；若题目中给出顶点坐标、最大值、对称轴等信息，常考虑顶点式；若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标，可设两根式. 思维升华 索引 【训练1】　已知二次函数的图象过点(1，4)，且与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)，求二次函数的解析式. 解　法一　设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将(1，4)，(－1，0)，(3，0)分别代入上式，得 ∴y＝－x2＋