2.2.4 第二课时 均值不等式的应用（课件）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二章 第二课时　均值不等式的应用 INNOVATIVE DESIGN 课标要求 素养要求 通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 均值不等式与最大(小)值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. 自主梳理 /////// 索引 点睛 2.运用均值不等式时，一定要满足“一正二定三相等”.　　　 索引 1.思考辨析，判断正误 (1)对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.( ) 提示　a，b不一定为正实数. (2)对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.( ) 提示　a，b不一定为正实数. 提示　当且仅当x＝1时不等式取得最小值2，故x>2时，取不到最小值2. × × × 自主检验 /////// 索引 2.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　　) B 索引 C 则 索引 4.已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么 xy的最大值是________. 解析　∵x>0，y>0，∴x＋2y＝2≥2，∴2xy≤1， Q 索引 课堂互动 题型剖析 2 11 题型一　均值不等式的简单应用 角度1　“常数代换法”求最值 /////// 索引 若题中不存在满足均值不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，灵活运用“1”的代换.在不等式解题过程中，常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替. 思维升华 索引 角度2　“减元代换法”求最值 8 索引 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用均值不等式求解. 思维升华 索引 B 解析　由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4， 索引 (2)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________. 解析　 由条件得2x＋6＝(x－1)y.由x>0，y>0知x>1， 18 索引 【例2】　(1)已知正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则x＋y的最小值为________. 题型二　建立目标不等式求最值 所以(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0， 所以(x＋y－6)(x＋y＋2)≥0， 所以x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)，所以x＋y的最小值为6， 当且仅当x＝y＝3时取等号. 6 /////// 索引 索引 利用均值不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值. 思维升华 索引 ∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，即1≤a＋b≤4， A.[1，4] B.[2，＋∞) C.(1，4) D.(4，＋∞) A 当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A. 索引 题型三　利用均值不等式解决实际应用问题 /////// 索引 解　设该批产品的利润为y， 当且仅当x＝1时，上式取“＝”， ∴当x＝1时，ymax＝17. 答：当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元. 索引 利用均值不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 思维升华 索引 【训练3】　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为y1元， 索引 (1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件： ①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. (2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件. (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的.　　 课堂小结 索引 分层训练 素养提升 3 27 一、