2.2.4 第一课时 均值不等式（课件）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二章 第一课时　均值不等式 INNOVATIVE DESIGN 课标要求 素养要求 通过学习均值不等式及其简单应用，重点培养数学运算、逻辑推理素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 1.算术平均值与几何平均值 (1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义 自主梳理 /////// 索引 2.均值不等式 a＝b ≥ 点睛 如果条件改为a≥0，b≥0，均值不等式仍成立.　　　 索引 3.几个重要不等式 已知a，b∈R，则有 (1)a2＋b2≥2ab；(2)(a＋b)2≥4ab； (3)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；当且仅当a＝b时，等号成立. 点睛 3个不等式是等价的，相互可以推理得到.　　　 索引 1.思考辨析，判断正误 (4)不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是a＝±1.( ) 提示　a＝－1时等号不成立. × √ √ × 自主检验 /////// 索引 2.下列不等式成立的是(　　) A 解析　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， 索引 3.若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) B ∴a2＋b2>2ab. ∵0<a<b且a＋b＝1， 索引 ③ 4.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号). ③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 索引 课堂互动 题型剖析 2 12 题型一　利用均值不等式比较大小 【例1】　设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) B /////// 索引 利用均值不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 思维升华 索引 ≥ 索引 题型二　利用均值不等式求最值 /////// 索引 解 ∵x<0，∴－x>0. 索引 ∵x>1，∴x－1>0， 索引 ∴a＝36. 索引 在利用均值不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 思维升华 索引 【训练2】　已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A.16 B.25 C.9 D.36 解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤ B 当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25. 索引 角度1　无附加条件的不等式证明 题型三　用均值不等式证明不等式 /////// 索引 角度2　有附加条件的不等式证明 【例3－2】　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： 证明　∵a＋b＝1， 又∵a>0，b>0， 索引 法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1， 索引 利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用均值不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到. 思维升华 索引 证明　∵a，b，c都是正数， 索引 2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课堂小结 索引 分层训练 素养提升 3 28 一、选择题 D 基础达标 /////// 索引 12 13 14 07 08 09 10 11 01 02 03 04 05 06 29 2.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t A 解析　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s. 索引 12 13 14 07 08 09 10 11 01 02 03 04 05 06 A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为－4 D.最小值为－4 C 索引 12 13 14 07 08 09 10 11 01 02 03 04 05 06 4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A 索引 12 13 14 07 08 09 10 11 01 02 03 04 05 06 5.已知a，b均为正数，则下列不等式中不成立的是(　　) D 索引 12 13 14 07 08