2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（课件）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二章 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 INNOVATIVE DESIGN 1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法：因式分解法(包括“十字相乘法”)、配方法和求根公式法(重点). 2.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理). 课标要求 素养要求 通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 1.一元二次方程的有关概念 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0.其中二次项是________，一次项是______，____是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数. ax2 bx c 自主梳理 /////// 索引 2.一元二次方程的解法 直接开平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝ 因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n 自主梳理 /////// 索引 点睛 索引 3.一元二次方程根与系数的关系 (1)设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根， (2)常用的几个变形： 索引 点睛 索引 1.思考辨析，判断正误 (1)ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数)叫做一元二次方程.( ) 提示　当a＝0时，不是一元二次方程. (2)一元二次方程均可化为(x－k)2＝t的形式.( ) (3)一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.( ) (4)如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不同的根x1，x2，则ax2＋bx ＋c＝a(x－x1)(x－x2).( ) × √ √ √ √ 自主检验 /////// 索引 2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A 解析　A中方程可化为3x2＋4x＋1＝0，是一元二次方程； C.ax2＋bx＋c＝0 D.x2＋2x＝x2－1 当a＝0时，不是关于x的一元二次方程；D中方程可化为2x＝－1，不是一元二次方程. 索引 3.已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 C 解析　由题意，m2－m－1＝0，即m2－m＝1. 索引 －3 4.关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，则p＝________，q＝________. 解析　由根与系数的关系，得 2 索引 课堂互动 题型剖析 2 14 题型一　一元二次方程判别式的应用 角度1　判断一元二次方程根的情况 【例1－1】　对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(　　) A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 解析　所给的一元二次方程中，a＝1，b＝－2(k＋1)，c＝－k2＋2k－1， 故Δ＝b2－4ac＝[－2(k＋1)]2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8＋8k2>0. 所以此方程有两个不相等的实数根. C /////// 索引 角度2　已知方程根的情况确定方程中字母的取值范围 【例1－2】　已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根. (1)求m的取值范围； 解　关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程，有实数根需满足Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0， 索引 (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根. 解 ∵关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0， 两边同时乘以－2， 得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0， 解得x1＝x2＝－3. 索引 只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判