第07讲 二次函数的应用（最值）-【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第07讲 二次函数的应用（最值） 运用二次函数的知识解决实际问题,把实际问题转化为“函数”模型。 1.二次函数的最值问题 解决此类问题的关键是通过解读题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最值实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围 (1)利用二次函数解决销售问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题 (2)利用二次函数解决几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数最值问题常见的有：面积的最值、用料的最佳方案以及动态几何中的最值 ①二次函数中斜三角形面积的最大值求法 方法一：利用S==ah(a为水平距离，h为铅垂高)列出函数关系式，根据函数的性质求出最大值 方法二：可转化为求在第一象限内抛物线上的点到直线AB距离的最大值根据直线与抛物线只有一个交点，通过根的判别式来求出最大值。 如图，在第一象限内，抛物线上有一动点P，当S△ABP最大时，求点P的坐标 ②线段的最值 a.如图，在第一象限内抛物线上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q，当PQ最大时，求点P的坐标. b.两点之间线段最短 c.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，顶点C，D在抛物线上，当矩形ABCD的周长最大时，求点A的坐标 d.垂线段最短 2.常见公式 (1)销售问题中的等量关系 ①总利润=单件利润x销售量=(售价-进价)×销售量 ②总利润=销售总额-总成本 ③总利润=进价x利润率x销售量 (2)几何图形的面积公式 ①矩形的面积=长×宽; ②菱形的面积=底x高=对角线乘积的一半； ③正方形的面积=边长=对角线乘积的一半； ④圆的面积=πr2 3.构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题 考点1 销售问题 解题步骤 1.通过列方程(组)解决销售量问题； 2.根据利润与销售量之间的关系建立 3.利用函数关系式求最大(小)值 例题1 湘潭政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等 特色农产品品牌小亮调查了一家湘潭特产店A，B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元 （1) 求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ (2)小亮调查发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒。若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒每盒降价多少元时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大利润是多少元? 【解析】(1)设平均每天销售A种礼盒x盒，B种礼盒y盒， (120-72)x+(80-40)y=1280, 120x+80y=2800, 解得:x=10,y=20 故该店平均每天销售A种礼盒10盒，B种礼盒20盒 (2)设A种湘莲礼盒每盒降价m元，总利润为W元 依题意,得W=(120-m-72)(10+)+800 化简得W=-m2+6m+1280=-(m-9)2+1307 a=-<0 ∴m=9时W取得最大值,最大值为1307. 故当A种湘莲礼盒每盒降价9元时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大利润是1307元 归纳总结 二次函数的销售问题常与方程、一次函数、不等式等相结合，先根据方程、不等式等求出单价、销量等条件，结合已知条件列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质和自变量的取值范围求最大值或最小值 考点2：几何图形的面积最值与动点问题 例题2 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0)，B(-4,0)，与y轴交于点C (1)求这条抛物线的解析式 (2)如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标 (3)如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小?若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】解:(1)∵抛物线y=ax³+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0), 4a+2b-4=0, 16a-4b=4=0, 解得a=，b=1. ∴这条抛物线的解析式为y=x²+x-4. (2)如图1,连接OP,设点P(t,t2+t-4) 其中-4<t<0, 四边形ABPC的面积为S，由题意得C(0，-4)， ∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP =4-2x-x²-2x+8 =-x²-4x+12 =-(x+2)³+16. ∵-1<0,开口向下,S有最大值, ∴当x=-2时,四边形ABPC的面积最大, 此时,y= (-2)²