专题16 圆锥曲线中综合问题-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(新高考专用)

专题16 圆锥曲线中综合问题 目录 一．考情分析 二．热点题型归纳 【题型一】圆锥曲线中的最值、范围问题 【题型二】圆锥曲线中的定点、定值问题 三．最新模考题组练 【考情分析】 1. 圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有：范围、最值问题，定点、定值问题，探索型问题等. 2. 以解答题的压轴题形式出现，难度较大，重在提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. 【题型一】圆锥曲线中的最值、范围问题 【典例分析】 1．（2021·山东滕州一中高三模拟）已知椭圆的左顶点为A，过其右焦点F作直线交椭圆C于D，E(异于左右顶点)两点，直线AD，AE与直线分别交于M，N，线段MN的中点为H，连接FH. （1）求证：； （2）求面积的最小值. 【解析】（1）由已知得，设，，直线DE的方程为， 与椭圆方程联立得，， 设直线AD的方程为，与直线联立得， 同理可得， 则， ，，当时，显然； 当时，时，， 综上，可得. （2） ，H到直线DE的距离 ，设， ， 在上单调递增，，当，即时取得最小值. 面积的最小值是. 2．（2021·山东省实验中学高三模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上位于第二象限的任一点，直线是的外角平分线，直线交椭圆于另一点，过左焦点作的垂线，垂足为，延长交直线于点，（其中为坐标原点），椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的内切圆半径的取值范围. 【解析】（1）由题意可得，且， 所以， 因为，分别为线段，的中点，所以为的中位线， 所以且，由，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知， 设直线的方程为，由点在第二象限求得. 设，，由得， 由根与系数的关系得，， 所以， 令，则， 所以， 因为在时单调递增，所以， 所以， 又，所以，即， 所以内切圆半径的取值范围是. 【提分秘籍】 求解圆锥曲线中最值、范围问题的主要方法 (1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解. (2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围. 【变式演练】 1．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟）已知点F为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若M为椭圆C上的点，以M为圆心，长为半径作圆M，若过点可作圆M的两条切线(为切点)，求四边形面积的最大值. 【解析】（1）根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为3，最小值为1. 所以，解得， 所以 因此椭圆的标准方程为 （2）由（1）知，为椭圆的左焦点， 根据椭圆定义知，， 设， ∵点在圆外，∴，∴ 所以在直角三角形中， ，， 由圆的性质知，四边形面积，其中. 即. 令，则 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，在时，取极大值，也是最大值 此时. 2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆C的方程； （2）是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为的重心，求点B到直线MN距离的取值范围． 【解析】（1）设椭圆的右焦点，则 以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆：， 所以圆心到直线的距离， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以， 解得：， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，设的中点为D，直线OD与椭圆交于A,B两点， 因为O为的重心，则,所以 即B到直线MN的距离是原点O到直线MN距离的3倍. 当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时B在长轴的端点处. 由得：,则O到直线MN距离为1，B到直线MN距离为3； 当MN的斜率存在时，设，则有： 两式相减得：， 因为D为的中点，所以，所以， 所以直线MN的方程为，即， 所以原点O到直线MN距离. 因为，所以， 所以. 因为，所以，所以，所以 综上所述，. 即点B到直线MN距离的取值范围. 【题型二】圆锥曲线中的定点、定值问题 【典例分析】 1．（2021浙江镇海中学高三模拟）已知且满足的动点的轨迹为． （1）求曲线的轨迹方程； （2）如图，过点的斜率大于零的直线与曲线交于，两点，，直线交曲线于另外一点，证明直线过定点． 【解析】（1）∵，且， 等式两边平方整理得． （2）证明：设，，． 由两式相减得． 所以直线的方程为，整理得（*）． 因为点在直线上，所以①， 同理直线的方程为，因为点在直线上，所以②． 由①②两式得，整理得． 由（*）式同理知直线的方程为， 所以， 整理得直线的方程为， 所以直线过定点． 2．（2021·天津八中高三模拟）已知椭圆C：的左