专题15 圆锥曲线的定义、方程与性质-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(新高考专用)

专题15 圆锥曲线的定义、方程与性质 目录 一．考情分析 二．热点题型归纳 【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程 【题型二】圆锥曲线的几何性质 【题型三】直线与圆锥曲线 三．最新模考题组练 【考情分析】 1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查. 2.关键能力: 逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力. 3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算. 【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程 【典例分析】 1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线上一点到其左焦点的距离为8，则的中点到坐标原点的距离为（ ） A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解析】由，得，则，所以， 所以，设双曲线的右焦点为， 因为到其左焦点的距离为8，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以， 因为为的中点，为的中点，所以，故选：A 2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点A在l上，点B在抛物线上，l与x轴的交点为C，是正三角形，且四边形ABFC的面积是，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由抛物线的定义及为正三角形，可知轴，所以， 从而可知，，又因为四边形的面积是， 所以有，解得.故选：C. 【提分秘籍】 【变式演练】 1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则， 椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即， 则，，. 则椭圆的标准方程为：.故选：C. 2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在中，，为的中点，且，则下列说法中正确的是（ ） A．动点的轨迹是双曲线 B．动点的轨迹关于点对称 C．是钝角三角形 D．面积的最大值为 【答案】BD 【解析】以为原点，为轴建立直角坐标系． 设=，此时点在以为圆心，为半径的动圆上． 由，知点在以为焦点，的双曲线上且． 对点有，，从而，当时，最大，故，，故正确； 时，得到另一个点，此时为直角三角形，故错误； ∵非定值，∴不以双曲线为轨迹，故错误； ∵，∴一定有关于的对称点关于原点对称，故正确．故选：BD． 3.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________. 【答案】3 【解析】由x2＝4y，知F(0，1)，准线l：y＝－1.设点M(x0，y0)，且x0>0，y0>0. 由＝，知点M是线段FN的中点，N是FT中点， 利用抛物线定义，|MF|＝|MM′|＝y0＋1，且|FF′|＝2|NN′|＝2. 又2(y0＋1)＝|FF′|＋|NN′|＝3，知y0＝.∴|MF|＝＋1＝，从而|NT|＝|FN|＝2|MF|＝3. 【题型二】圆锥曲线的几何性质 【典例分析】 1．已知，分别为椭圆：的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，分别为椭圆：的两个焦点， 是椭圆上的点，，且，由正弦定理可得， 令，则，，可得， 所以椭圆的离心率为：.故选：B． 2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线的中心为，左焦点为，左顶点为，点为双曲线右支上一点，直线交双曲线于另一点，若直线恰好平分线段，则该双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】设的中点为，连接， 、分别为、的中点，则且，所以，， 即，，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：. 【提分秘籍】 【变式演练】 1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线的焦点为F，经过点P(1，1)的直线l与该曲线交于A､B两点，且点P恰好为AB的中点，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】抛物线中，，其焦点，准线方程， 如图过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 而P恰好为AB的中点，故是梯形ABNM的中位线，故， 又P(1，1)，故，所以.故选：B. 2．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作圆的切线交双曲线左支于点，且，则该双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】． 【解析】设切点为，过作，垂足为， 由题意可得，，， 由为的中位线，可得，， 又，可得，， ， 又，所以， 所以双曲线的渐近线方程为．故答案为：． 3.已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条