专题13 成对数据的统计分析-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(新高考专用)

专题13 成对数据的统计分析 目录 一．考情分析 二．热点题型归纳 【题型一】回归分析在实际问题中的应用 【题型二】独立性检验在实际问题中的应用 【题型三】有关预测与决策问题 三．最新模考题组练 【考情分析】 1.考查特点:(1)统计知识主要考查:抽样方法、样本数字特征、统计图表等,以选择题、填空题形式命题,难度较小;(2)回归分析与独立性检验常与概率交汇命题,也是近年的热点,常出现在第19或20题的位置,以中档题为主. 2.关键能力: 逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力. 3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析. 【题型一】回归分析在实际问题中的应用 【典例分析】【例1】(2021·长沙统考)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量/万元 2 4 6 8 10 12 收益/万元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们用两种模型①＝x＋，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值： xiyi x 7 30 1 464.24 364 (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由. (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： (ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程； (ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝－. 【解析】(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高. (2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得 ＝×(7×6－6)＝7.2， ＝×(30×6－31.8)＝29.64. xiyi＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44， x＝364－62＝328. ＝＝＝＝3， ＝－＝29.64－3×7.2＝8.04. 所以y关于x的回归方程为＝3x＋8.04. (ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得＝3×18＋8.04＝62.04， 故预报值为62.04万元. 【例2】一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发的Single算法在部署基站时可以把原来的、基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村． （1）现抽样调查英市所轴的地和地基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表： 已覆盖 未覆盖 A地 20 80 B地 25 75 视样本的频率为总体的概率，假设从地和地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中地已覆盖的村比地多的概率； （2）该市2020年已建成的基站数与月份的数据如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 283 340 428 547 701 905 1151 1423 1721 2109 2601 3381 探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型拟合比较合理，请结合参考数据，求基站数关于月份的回归方程．（的值精确到0.01）． 附：设，则，，，，，，，对于样本，的线性回归方程有，． 【解析】（1）用样本估计总体，抽到地覆盖的村概率为，抽到地覆盖的村概率为， 地抽到的2个村中基站覆盖的村个数为，则满足二项分布 ， 地抽到的2个村中基站覆盖的村个数为，则满足二项分布 ，， 从地和地各随机抽取2个村，这4个村中地覆盖的村比地覆盖的村多的概率为 ． （2）由指数模型，设，则，则与是线性相关关系． 因为，， ，， 所以， ，即，即． 【提分秘籍】 1.对于非线性回归分析问题，应先进行变量代换， 求出代换后的回归直线方程，再求非线性回归方程. 2.回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强. 【变式演练】 1.（2021·贵州凯里一中高三开学考试（理））越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有