专题11 立体几何中的向量方法-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(新高考专用)

专题11 立体几何中的向量方法 目录 一．考情分析 二．热点题型归纳 【题型一】利用空间向量求空间角 【题型二】利用空间向量求空间距离 【题型三】利用空间向量解决探索型问题 三．最新模考题组练 【考情分析】 1.考查特点:高考对此部分内容主要以解答题的形式考查,难度为中档,有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第(1)问为主,常以多面体为载体;线面角和二面角是高考的热点,解答题中第(2)问必考.有时也与折叠问题、探索问题相结合命题. 2.关键能力:运算求解能力、空间想象能力、逻辑思维能力. 3.学科素养:直观想象、数学运算、逻辑推理. 【题型一】利用空间向量求空间角 【典例分析】 【例1】(2021·枣庄市第三中学高三模拟)如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正弦值. 【解析】如下图，以为原点，分别以，，垂直于AD向上为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，， （1），，， ∴，，即，，又， ∴平面； （2）由，得， ∴，而， 设为面的一个法向量，则，易得 设直线与平面所成角为，则 ∴直线与平面所成角的正弦值为； （3）∵为平面的法向量， 设二面角的大小为，则， ∴，则二面角的正弦值为. 【提分秘籍】 1.利用空间向量求空间角的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系; (2)求出相关点的坐标,写出相关向量的坐标; (3)结合公式进行论证、计算; (4)转化为几何结论. 2.求空间角应注意的3个问题 (1)两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β,即cos α=|cos β|. (2)直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值,注意函数名称的变化. (3)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能为两法向量夹角的补角. 【变式演练】 1.（2021·天津南开中学高三三模）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D，E分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点P，使得平面PAB与平面所成二面角为？若存在，求出线段CP的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）取的中点，连接，交于点，可知为的中点， 连接，因为E是的中点，所以且， 即四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得，即， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设在棱是存在一点，设，可得， 由，可得，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得，即， 又由平面的一个法向量为， 所以， 因为平面与平面所成二面角为， 可得，解得， 此时，符合题意， 所以在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，此时. 【题型二】利用空间向量求空间距离 【典例分析】 【例2】（2021·安徽马鞍山市·高三二模）如图，六面体中，面且面，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求点到面的距离. 【解析】（1）证明：因为面且面， 所以且， 在面中，，同理，，所以， 又，所以，由面，知， 又因为，所以面. （2）取中点，由题可知，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 于是面，又为正三角形，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，，，分别为，，正半轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，， ，，，， 设面的法向量为，则有， 不妨设，得. 又与面垂直，故面的法向量不妨设为， 由，解得. 设面的法向量为，则有， 不妨设，得. 于是，点到面的距离. 【提分秘籍】 点到平面的距离(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过A点的斜线段). 【变式演练】 1.（2021·上海交大附中高三模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点. （1）求点B1到平面D1AC的距离； （2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC与BD的交点O为原点， 以射线OA､OB､OO1分别为x､y､z轴，建立空间直角坐标系. 由已知条件，相关点的坐标为A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣2，0，0)，O1(0，0，3)，B1(0，1，3)，D1(0，﹣1，3)， 设平面D1AC的法向量为， 由，， 得， 令z=1，则，因， 故点B1到平面D1AC的距离为. （2）设， 则由，， 得. 又， 故当时，. 于是，在线段BO1上存在点P，使得AP⊥C