专题09 空间几何体表面积与体积的计算-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(新高考专用)

专题09 空间几何体表面积与体积的计算 目录 一．考情分析 二．热点题型归纳 【题型一】空间几何体的表面积与体积 【题型二】与球有关的切接问题 三．最新模考题组练 【考情分析】 1.考查特点:高考对此部分内容主要以选择题、填空题形式考查,难度为中档,主要考查柱、锥、球的表面积与体积以及空间几何体与球的切接问题.也常与数学文化或社会实际问题相结合命题. 2.关键能力:运算求解能力、空间想象能力. 3.学科素养:直观想象、数学运算. 【题型一】空间几何体的表面积与体积 【题组练透】 1．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 根据题意，可得，解得，所以， 故该冰激凌的体积.故选：A. 2．（2021·江苏南通市·高三模拟）某校开展社会实践活动，学生到工厂制作一批景观灯箱(如图，在直四棱柱上加工，所有顶点都在棱上)，灯箱最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等的正三角形，灯箱底部是边长为a的正方形，灯箱的高度为10a，则该灯箱的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为灯箱底部是边长为a的正方形，灯箱的高度为10a，所以长方体的体积. 因为灯箱最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等的正三角形， 所以四个缺口相当于切掉了四个以，，为棱长，且互相垂直的正三棱锥， 所以四个缺口的体积，从而该灯箱的体积为.故选：C 3．【多选】（2021•河北沧州三模）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为边长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则　　 A．该玉琮的体积为 B．该玉琮的体积为 C．该玉琮的表面积为 D．该玉琮的表面积为 【答案】BD 【解析】由图可知，组合体的体积， 组合体的表面积．故选：． 4．（2021·遵义市第十八中学高三模拟）如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P­ABA1的体积为________． 【答案】. 【解析】在正三棱柱ABC­A1B1C1中， AB＝3，所以， 因为平面，所以 三棱锥P­ABA1的体积等于三棱锥C­ABA1的体积， 又三棱锥C­ABA1的体积等于三棱锥A1­ABC，即为S△ABC·AA1＝××3＝.故答案为：. 【提分秘籍】 1.求空间几何体的表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何问题的主要出发点. 2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得所给几何体的表面积. 3.求三棱锥的体积:等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上. 4.求不规则几何体的体积:常用分割或者补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. 【题型二】与球有关的切接问题 【典例分析】 （2021•全国甲卷T11）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以底面为等腰直角三角形， 所以所在的截面圆的圆心为斜边的中点，所以平面， 在中，，则， 在中，， 故三棱锥的体积为．故选：． 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积.故选：A. 【提分秘籍】 1.解决多面体的外接球问题,关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可以采用补成正方体或者长方体的方法找到球心的位置. 2.求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以球心为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径. 【变式演练】 1．（2021·江苏连云港市·高三模拟）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的底面边长与内切