专题08 数列求和及综合应用-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(新高考专用)

专题08 数列求和及综合应用 目录 一．考情分析 二．热点题型归纳 【题型一】递推关系问题 【题型二】数列的求和 【题型三】与数列有关的综合问题 三．最新模考题组练 【考情分析】 【题型一】递推关系问题 【题组练透】 1．（2021·福建三明市·三明一中高三模拟已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为(　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 当时，； 当时，， 所以数列的通项公式为.故选B. 2．（2021·福建省厦门第六中学高三模拟）数列满足，且，则数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且， 所以，，……，， 所以， 即. ， 所以数列的前10项和.故选：B 3．（2021·山东菏泽市·高三模拟）在数列中，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在数列中，故 ， 故答案为A． 4．（2021·浙江绍兴市·高三二模）数列中，，，则______. 【答案】 【解析】，， ，，，…… 数列是以3为周期的周期数列， ，.故答案为：. 5.（2021·山东济南高三模拟）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________. 由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3). 令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2. 所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3. 【提分秘籍】 求数列通项公式的常见类型及方法 (1)已知Sn与an的关系,利用an=，求an; (2)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法); (3)累乘法:数列递推关系形如an+1=f(n)an,其中数列{f(n)}前n项积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法); (4)形如an+1=pan+q(pq≠0)型常借助an+1+t=p(an+t)与已知关系相等,求出t=(p≠1),构造等比数列求通项公式; (5)周期数列:若一个数列为周期数列,则通过观察法判断出数列的前部分项,寻找规律,求通项公式. 【题型二】数列的求和 【典例分析】 【例1】（2021·山东德州市·高三一模）已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意： ① 当时， ② ①－②得，即， 当时，满足上式，所以． （2）因为， 所以， 所以 又，所以． 【例2】（2021•全国乙卷T19）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前项和．证明：． 【解析】（1），，成等差数列，，……………………1分 是首项为1的等比数列，设其公比为， 则，，……………………2分 ，……………………3分 ．……………………4分 （2）证明：由（1）知，， ，……………………6分 ，①……………………7分 ，②……………………8分 ①②得，， ，……………………10分 ， ．……………………12分 【提分秘籍】 1.错位相减法求数列前n项和的适用条件及关注点 (1)适用条件:如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成,那么这个数列的前n项和可用此法来求,即求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (2)关注点:①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. 注意:在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,要分公比等于1和不等于1两种情况求解. 2.裂项相消法求数列前n项和的方法 (1)原理:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 注意:在相加抵消过程中,有的是依次抵消,有的是间隔抵消,特别是间隔抵消时要注意规律性. (2)常见的可以使用裂项相消法求和的形式: 数列(n为正整数) 裂项方法 {} (k为非零常数) =(-) {} =(-) {} =- {loga(1+)} (a>0,a≠1) loga(1+) =loga(n+1) -logan 3.分组转化法求数列前n项和的常见类型 (1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和. (2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和. 【变式演练】 1．（2021·四川成都市·川大附中高三模拟）已知数列是等差数列，