专题06 三角恒等变换与解三角形-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(新高考专用)

专题06 三角恒等变换与解三角形 目录 一．考情分析 二．热点题型归纳 【题型一】三角恒等变换 【题型二】正弦定理与余弦定理解三角形 【题型三】解三角形的综合问题 三．最新模考题组练 【考情分析】 1. 考查特点：由于新高考删除了解答题的选做题，三角函数与解三角形成为新高考全国卷六大解答题的必选内容.在命题数量上“一大二小”的趋势比较明显，主要考查三角恒等变换、解三角形，另外三角函数及解三角形题和数列题会交替处在解答题的第一题或第二题的位置上，考查难度中等，这两个题目有时会有一道题设计成“结构不良”试题. 2.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力、创新能力. 3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模. 【题型一】三角恒等变换 【题组练透】 1．（2021·山东省淄博实验中学高三一模）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比，它还可以近似表示为，则的值近似等于（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】由题 =，故选：B． 2．（2021·湖北十堰高三模拟）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由题意可得，，，所以，，所以.故选：D. 3.（2021·江苏盐城高三三模）满足等式的数组有无穷多个，试写出一个这样的数组______. 【答案】 【解析】由，得， 所以，所以， 所以，所以取，所以可以为. 4.（2021·济南市历城第二中学高三一模）已知，则______， ______. 【答案】 【解析】由得，故； . 【提分秘籍】 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小. 【题型二】正弦定理与余弦定理解三角形 【典例分析】 【典例】（2021·山东德州市·高三二模）的内角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，为边上一点，，求的值． 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 故，所以， 因为，所以，即，因为，所以； （2）因为，，所以，， 中，由余弦定理得，，所以， 由正弦定理得，故． 【变式探究1】本例第（1）问变条件，“”，改为“”，求求角的大小 【解析】中，由正弦定理及， 知，所以， 由余弦定理知，所以，所以，又，所以． 【变式探究2】本例第（2）问变设问，若，为边上一点，，且___，求的面积．（从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答． 【解析】①为的平分线，，所以， 因为，所以，即， 由余弦定理得，，所以， 解得或（舍，所以的面积； ②为的中点，，则， 因为，所以，整理得， 由余弦定理得，，所以， 所以的面积． 【提分秘籍】 1.正、余弦定理的适用条件:(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”采用正弦定理解决问题;(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”采用余弦定理解决问题. 2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质和三角形的面积公式,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,一般地,若已知条件中的等式两边含有角的正弦、余弦或边的一次式,则考虑使用正弦定理将边化为角(或将角化为边),若含有角的余弦式或边的二次式,则考虑使用余弦定理. 【题型三】解三角形的综合问题 【典例分析】 【典例】（2021·广东深圳市·高三一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，又， ，又，，，故在中，； （Ⅱ）由余弦定理得：，，，面积．故面积的最大值为． 【提分秘籍】 解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值.或范围 【变式演练】 （2021·浙江高三模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S﹐且满足． （1）求角C的大小； （2）求的最大值． 【解析】（1）解：由题意可知． 所以． 因为， 所以； （2）解：由已知 ． 因为, 所以即时，取最大值. 所以的最大值是． 1．（2021·山东师范大学附中高三模拟）函