专题03 导数与函数的单调性、极值、最值问题-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(新高考专用)

专题03 导数与函数的单调性、极值、最值问题 目录 一．考情分析 二热点题型归纳 【题型一】导数的几何意义 【题型二】利用导数研究函数的单调性 【题型三】利用导数研究函数的极值和最值 三．最新模考题组练 【考情分析】 1.考查特点:(1)高考对导数几何意义的考查,多在选择题、填空题中出现,难度较小,有时出现在解析题第一问;(2)高考重点考查导数的简单应用,即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,多在选择题、填空题的后几题中出现,难度中等,有时也出现在解析题的第一问. 2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力,创新能力. 3.学科素养:逻辑推理、数学运算、数据分析. 【题型一】导数的几何意义 【典例分析】 1．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三模拟）已知函数的图象在点的切线方程为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则， 由题意可知点在直线上，所以，， 所以，，解得，因此，.故选：A. 2．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 若使得取值最小值，则曲线在点处的切线与直线平行， 对函数求导得，令，可得，，解得.故选：C. 【提分秘籍】 应用导数的几何意义解题时应注意： (1)f′(x)与f′(x0)的区别与联系，f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值，是一个常数； (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上也在切线上. 【变式演练】 1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ） A． B．3 C． D． 【答案】AC 【解析】∵ ， ∴ ， 可令切点的横坐标为，且， 可得切线斜率即， 由题意，可得关于的方程有两个不等的正根， 且可知， 则，即， 解得：， 所以的取值可能为，.故选：AC. 2．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三模拟）曲线在处的切线与曲线相切，则_________． 【答案】1 【解析】因为，所以，则，且切点坐标为，故切线方程为，又，则，设切点坐标为， 则解得，故答案为： 【题型二】利用导数研究函数的单调性 【典例分析】 【例1】（2020·海南中学高三模拟）已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，，，. 令，则， 由得；由得； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 因此．故选：D． 【例2】（2020·武汉外国语学校高三模拟）定义在上的函数满足：，且当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】因为， 所以， 令，则，所以为奇函数． 又因为当时，， 所以在上单调递减， 即在上单调递减．而不等式 ， 所以，所以．故答案为： 【提分秘籍】利用导数研究函数单调性的关键： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认； (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况 【变式演练】 1．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则　　 A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据题意，令，，则其导数， 又由，且恒有， 则有， 即函数为减函数，又由，则有， 即，分析可得； 又由，则有， 即，分析可得．故选：． 2.（2011·山东青岛市·高三一模）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为 【答案】 【解析】由题可设，， 则， 所以函数在上单调递增，， 将不等式转化为， 可得，即， 有，故得，所以不等式的解集为 【题型三】利用导数研究函数的极值和最值 【典例分析】 1.（安徽省宣城市2021届高三下学期第二次调研数学试题）已知函数的极小值为． （1）求的值，并求出的单调区间； （2）若函数在上的极大值不小于，求实数的取值范围． 【解析】（1），当时，恒成立，在上单调递增，无极值， 当时，，解得：，，，的变化如下： 递增 极大值 递减 极小值 递增 ，即，解得：； 的递减区间是，，递减区间是； （2）由（1）知，故，， 当时，恒成立，在上递增，无极值， 当时，，解得：，，，的变化如下： + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ， 即，解得：， 又，解得：，，即实数的取值范围是． 2.（2021·重庆南开中学高三模拟）已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地