专题02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(新高考专用)

专题02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 目录 一．考情分析 二热点题型归纳 【题型一】基本初等函数的图象与性质 【题型二】函数与方程 【题型三】函数的实际应用 三．最新模考题组练 【考情分析】 1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等. 2.关键能力: 逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力. 3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算. 【题型一】基本初等函数的图象与性质 【典例分析】 【例1】（2021•焦作一模）若函数的值域为，则函数的图象大致是　　 A．B． C． D． 【答案】B 【解析】若函数的值域为， 则，故函数的图象大致是：故选：． 【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，且函数是增函数，于是； 函数是增函数，，而，则，，即，综上得：故选：D 【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一个零点， 函数存在2个零点，当且仅当f(x)在(-∞，1]有一个零点， x≤1时，，即函数在(-∞，1]上的图象与直线y=m有一个公共点， 在同一坐标系内作出直线y=m和函数的图象，如图： 而在(-∞，1]上单调递减，且有，则直线y=m和函数的图象有一个公共点，.故选：A 【提分秘籍】 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围. 2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x2-3x+2与函数y=ln t的单调性,而忽视t>0的限制条件. 3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小. 【变式演练】 1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．为减函数 C．有且只有一个零点 D．的值域为 【答案】AC 【解析】,, , 故为奇函数，又， 在R上单调递增， ，，， ，，即函数值域为 令，即，解得，故函数有且只有一个零点0. 综上可知，AC正确，BD错误.故选：AC 2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是 【答案】 【解析】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数 原不等式可化为， ∴，解得，∴的取值范围是． 【题型二】函数与方程 【典例分析】 【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为增函数，为增函数，故为增函数，由， ，根据零点存在性定理可得使得，故选：B. 【例5】（2021·北京高三一模）已知函数有2个零点，且过点，则常数t的一个取值为______． 【答案】（不唯一）． 【解析】由可得或 由可得 因为函数有2个零点，且过点，所以，故答案为：（不唯一） 【提分秘籍】 1.判断函数零点个数的方法 直接法 直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数 定理法 利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 数形 结合法 对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题 2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在性定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解. 【变式演练】 1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知在上是连续增函数，因为，，所以的零点所在的大致区间是. 故选：B 2．（2021·天津高三二模）设函数，若，则的最小值为______；若恰有2个零点，则实数a的取值范围是___