解析结合考题盘点-【数理报】2021-2022学年高中数学必修2复习专号（人教A版）

书 第一部分：直线与方程 题型分析：直线与方程在高考中的单独命题一般 以选择题、填空题的形式出现，也可以与其它知识综合 命题出现在解答题中，一般以两种方式出现：一是为解 答题的某一步直接求直线的相关问题；二是与其它知 识交织在一起进行综合考查．下面以各地模拟题为例， 将具体的考点进行分析． 题型一：直线的倾斜角和斜率 例１将直线ｙ＝－槡３３（ｘ－２）绕点（２，０）按顺时针 方向旋转３０°所得的直线的方程是 ． 解：点（２，０）是直线ｙ＝－槡３３（ｘ－２）与 ｘ轴的交 点，直线ｙ＝－槡３３（ｘ－２）的斜率为 － 槡３ ３，其倾斜角是 １５０°． 把直线 ｙ＝－槡３３（ｘ－２）绕点（２，０）顺时针旋转 ３０°后所得直线的倾斜角为１２０°，所以斜率为 －槡３，故 其方程为ｙ＝－槡３（ｘ－２）． 点评：直线的斜率与倾斜角是紧密联系的，往往它 们可相互进行求值，即由斜率可得到倾斜角，也可由倾 斜角得到斜率，但要注意斜率不存在时，直线的倾斜角 为９０°． 例２若直线ｍ被两平行线ｌ：ｘ－ｙ＋１＝０与ｌ２：ｘ－ ｙ＋３＝０所截得的线段的长为 槡２２，则ｍ的倾斜角可以 是： ①１５°；②３０°；③４５°；④６０°；⑤７５°． 其中正确答案的序号是 （写出所有正确 答案的序号）． 答案：①⑤． 解：两平行线间的距离为ｄ＝｜３－１｜ １＋槡 １ ＝槡２， 又直线ｍ被ｌ１与ｌ２所截的线段长为 槡２２， 作图易知直线ｍ与ｌ１的夹角为３０°， 又ｌ１的倾斜角为４５°， 所以直线ｍ的倾斜角为３０°＋４５°＝７５°或４５°－ ３０°＝１５°． 故填写①或⑤． 点评：直线的倾斜角和斜率这两个概念联系紧密， 但又有区别，直线的倾斜角是一个角，而直线的斜率是 一个实数，平面内的每一条直线都有倾斜角，但平面内 的每一条直线未必都有斜率，因为当 α＝９０°时，斜率 不存在．因此，直线的倾斜角与其斜率之间不是一一对 应关系． 题型二：直线方程 例３过两点（－１，１）和（０，３）的直线在ｘ轴上的截 距为 （　　） （Ａ）－３２　　（Ｂ） ３ ２　　（Ｃ）３　　（Ｄ）－３ 分析：条件中给出了直线上的两个已知点，因此可 先由两点式得出直线的方程，再由所得直线方程得出 直线在ｘ轴上的截距． 解：由两点式方程得 ｙ－１ ｘ＋１＝ ３－１ ０＋１， 化简得２ｘ－ｙ＋３＝０． 令ｙ＝０，得ｘ＝－３２．故选（Ａ）． 点评：求直线方程时一定要注意分析题设条件与 直线方程的结构特点联系，正确选用直线方程的五种 形式，同时一定要注意各种形式方程的限制条件．而根 据直线的一般式方程求截距，一般令ｘ＝０可得纵截距 ｂ，令ｙ＝０可得横截距ａ．本题的解答也体现了一种数 学思想———方程思想． 例４过点（１，０）且与直线ｘ－２ｙ－２＝０平行的直 线方程是 （　　） （Ａ）ｘ－２ｙ－１＝０ （Ｂ）ｘ－２ｙ＋１＝０ （Ｃ）２ｘ＋ｙ－２＝０ （Ｄ）ｘ＋２ｙ－１＝０ 答案：（Ａ）． 解：因为所求直线与直线ｘ－２ｙ－２＝０平行， 所以设直线方程为ｘ－２ｙ＋ｃ＝０， 又经过（１，０），故ｃ＝－１， 所求方程为ｘ－２ｙ－１＝０． 点评：直线方程的确定一般需要两个独立条件．在 求直线方程时，要根据给出的条件采取适当的形式．一 般地，已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常采 用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率， 常用斜截式，再由其他条件确定在 ｙ轴上的截距；已知 截距或两点选择截距式及两点式．从结论来看，若求直 线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选用截 距式求解比较简捷．无论选用哪一种形式来求直线的 方程都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 题型三：两直线平行 例５已知ｌ１：２ｘ＋ｍｙ＋１＝０与ｌ２：ｙ＝３ｘ－１，若 两直线平行，则ｍ的值为 ． 解：依题意知ｍ≠０，所以由直线方程得直线 ｌ１，ｌ２ 的斜率分别为 －２ｍ，３． 又因为两条直线平行， 所以 －２ｍ ＝３，解得ｍ＝－ ２ ３． 点评：解答两条直线的平行问题时，容易忽视直线 均不存在的情形，同时还易忽视截距不相等的限制条 件．求直线相关的参数，一般要通过建立方程来解决， 体现方程思想． 题型四：两直线垂直 例６若直线２（ａ＋１）ｘ＋ａｙ－２＝０与直线ａｘ＋２ｙ ＋１＝０垂直，则ａ＝ （　　） （Ａ）－２或０　　　　（Ｂ）０ （Ｃ）－２ （Ｄ）２± 槡２２ 解：根据直线一般式方程给出的垂直的条件得 ２（ａ＋１）·ａ＋２ａ＝０，即ａ（ａ＋２）＝０， 解得ａ＝－２，或ａ＝０．故选（Ａ）． 点评：利用两条直线的垂直关系时，一定要注意两 条直线中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜 率为０的情况． 例７直线ｌ过点（－１，２）且与直线２ｘ－３ｙ＋４＝０ 垂直，则ｌ的方程为 （　　） （Ａ）３ｘ＋２ｙ－１＝０ （Ｂ）３ｘ＋２ｙ＋７＝０ （Ｃ）２ｘ－３ｙ