第二部分 专题三 第2讲 数列求和及其综合应用-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第2讲　数列求和及其综合应用 ★[高考定位]　数列在解答题中的考查多以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项公式、前n项和等． 考点一　 利用递推关系求通项 [知识整合] 在数列{an}中，an与Sn的关系： an＝ [例1]　(1)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a6＝(　　) A．12　　B．13　　　C．16　　　D．32 [解析]　D　[知Sn求an，作差求出an的递推式，然后求出数列{an}的通项公式，代入n＝6即可求出结果． 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，可得a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2(an－an－1)，即an＝2an－1； ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为an＝2n－1，a6＝32.故选：D.] (2)(2021·衡水调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＋an＝3，则＝(　　) A．364 B．543 C．728 D．1022 解析：A　[∵2Sn＋an＝2Sn＋(Sn－Sn－1)＝3， ∴Sn－＝(n≥2)，而当n＝1时，2a1＋a1＝3，即a1＝1，则S1－＝－， ∴数列是以－为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝－·n－1，即有S6＝－，而a6＝3－2S6＝， ∴＝＝×(729－1)＝364， 故选：A.] [点睛]　通过an，Sn的递推关系构造数列，并确定其为等比数列，进而求S6、a6. 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列； (2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列； (3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解； (4)当出现＝f(n)时，用累乘法求解． [跟踪训练] 1．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，n∈N*，且a1＝1，则a5＝______. 解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1可得＝， 两边同除n可得＝， 故数列为常数列， 所以＝＝， 所以＝，解得a5＝15. 答案：15 2．(2021·温州质检)已知数列{an}满足3an－2an－1＝an＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝2021，则a2＝(　　 ) A. B. C. D. 解析：A　[由3an－2an－1＝an＋1(n≥2，n∈N*)可得2(an－an－1)＝an＋1－an， 若an－an－1＝0，则a6＝a5＝…＝a1，与题中条件矛盾，故an－an－1≠0， 所以＝2，即数列{an＋1－an}是以a2－a1为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1－an＝a2·2n－1， 所以a6－a1＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋a5－a4＋a6－a5＝a2·20＋a2·21＋a2·22＋a2·23＋a2·24＝31a2＝2021， 所以a2＝， 故选：A.] 考点二　数列求和 [知识整合] 数列求和最常用的四种方法 (1)公式法 适合求等差数列或等比数列的前n项和，对于等比数列，利用公式法求和时，一定要注意q是否取1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求数列的前n项和．若{an}为等差数列，d为公差，则＝. (4)分组求和法 一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分(即能分别求和)，然后再合并 [角度1]　分组求和法 [例2]　(2021·郑州二模)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且{bn}的前n项和为Sn,2a1＝b1＝2，a5＝5(a4－a3)，________.在①b5＝4(b4－b3)，②bn＋1＝Sn＋2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{an－bn}的前n项和Tn. 解析：等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 选①b5＝4(b4－b3)， (1)由2a1＝b1＝2，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3)， 可得1＋4d＝5d,2q4＝4(2q3－2q2)， 解得d＝1，q＝2， 则an＝1＋n－1＝n，bn＝2·2n－1＝2n； (2)an－bn＝n－2n， 则Tn＝(1＋2＋3＋…＋n)－(2＋4＋8＋…＋2n) ＝n(n＋1)－＝(n2＋n)－2n＋1＋2. 选②bn＋1＝Sn＋2， (1)由2a1＝2，a5＝5(