第二部分 专题三 第1讲 等差数列与等比数列-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第1讲　等差数列与等比数列 ★[高考定位]　对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，属于低档题．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题，属中低档题．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节． 考点一　等差、等比数列的基本运算 [知识整合] 1．通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1qn－1(q≠0) 2．求和公式 等差数列：Sn＝＝na1＋d； 等比数列：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时， Sn＝＝. [例1]　(1)(2021·攀枝花二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a5＋a6＝22，S7＝56，则{an}的公差为(　　) A．1　　B．2　　　C．4　　　D．8 [解析]　B　[本题可根据S7＝56得出7a1＋21d＝56，然后根据a5＋a6＝22得出2a1＋9d＝22，最后两式联立，通过计算即可得出结果．设公差为d， 因为S7＝56，所以7a1＋×d＝7a1＋21d＝56， 因为a5＋a6＝22，所以2a1＋9d＝22， 联立，解得a1＝2，d＝2， 故选：B.] (2)(2021·唐山一模)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，a3＝4，a2＋a4＝10，则S5＝_________. 解析：由给定条件求出等比数列{an}的首项和公比即可得解． 设等比数列{an}的公比为q，依题意有， 解得，或， 当时，S5＝＝31， 当时，S5＝＝＝31， 综上S5＝31. 答案：31 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略 (1)求通项，求出等比数列的两个基本量a1和q后，通项便可求出． (2)求特定项，利用通项公式或者等比数列的性质求解． (3)求公比．利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解． (4)求前n项和．直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解． [跟踪训练] 1．(2021·芜湖5月质检)已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，公比q＜－1，且a2＝－3，S3＝7，则a5＝(　　) A．－27 B．27 C．－81 D．81 解析：D　[由S3＝a1＋a2＋a3＝＋a2＋a2q可构造方程求得公比q，由等比数列通项公式可求得结果． ∵S3＝a1＋a2＋a3＝＋a2＋a2q＝－－3－3q＝7，q＜－1，∴q＝－3， ∴a5＝a2q3＝－3×(－3)3＝81. 故选：D.] 2．(2021·郑州三模)已知等差数列{an}的公差不为零，且a＝a1a7，Sn为其前n项和，则＝(　　) A. B. C. D．n(n－1) 解析：A　[由等差数列通项，结合已知可得a1＝2d，再由基本量的关系写出等差数列前n项和，即可求. 设等差数列{an}的公差为d，则由a＝a1a7知：(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)且d≠0， ∴a1＝2d，而Sn＝na1＋d＝， ∴＝. 故选：A.] 考点二　等差、等比数列的判定与证明 [知识整合] 1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； (2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． 2．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义证明(n∈N*)为一常数； (2)利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2)． [例2]　(理科)(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1， 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解析：首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前n项和公式证明结论即可． 选择①③为条件，②结论． 证明过程如下： 由题意可得：a2＝a1＋d＝3a1，∴d＝2a1， 数列的前n项和：Sn＝na1＋d＝na1＋×2a1＝n2a1， 故－＝n－(n－1)＝， 据此可得数列{}是等差数列． 选择①②为条件，③结论： 设数列{an}的公差为d，则： ＝，＝＝，＝＝ 数列{}为等差数列，则：＋＝2， 即：(＋)2＝(2)2，整理可得：d＝2a1，∴a2＝a1＋d＝3a1. 选择③②为条件，①结论： 由题意可得：S2＝a1＋a2＝4a1，∴＝2， 则数列{}的公差为d＝－＝， 通项公式为：＝＋(n－1)d＝n， 据此可得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1， 当n＝1时上式也成立，故数列的通项公