第二部分 专题二 满分阅卷案例(二) 解三角形类考题-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

满分阅卷案例(二)　解三角形类考题 类题策略 思维流程 　　尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等. [高考真题] (2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C． (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. [规范解答]　(1)证明：由正弦定理知，＝＝2R， ∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB①，2分 ∵b2＝ac，∴b·2Rsin∠ABC＝a·2Rsin∠ACB， 即bsin∠ABC＝asinC②，3分 ∵BDsin∠ABC＝asin C．∴BD＝b；5分 (2)由(1)知BD＝b，∵AD＝2DC，∴AD＝b，DC＝b③，6分 在△ABD中，由余弦定理知， cos∠BDA＝＝＝④， 在△CBD中，由余弦定理知， cos∠BDC＝＝＝，7分 ∵∠BDA＋∠BDC＝π，∴cos∠BDA＋cos∠BDC＝0⑤，8分 即＋＝0， 得11b2＝3c2＋6a2，∵b2＝ac， ∴3c2－11ac＋6a2＝0，∴c＝3a或c＝a⑥，10分 在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC＝＝， 当c＝3a时，cos∠ABC＝＞1(舍)⑦； 当c＝a时，cos∠ABC＝； 综上所述，cos∠ABC＝.⑧12分 评分细则 第(1)问得分点及说明： (1) 利用正弦定理转变为边的形式得2分； (2) 找到与条件的关系得1分； (3)证明出结论得2分 第(2)问得分点及说明： (1)用b表示出AD、DC得1分； (2)利用余弦定理表示出∠BDA和∠BDC得2分； (3)利用两角互补得1分 (4)解出两种情况得2分 (5)舍去不符合的得1分 (6)结论得1分 $