第二部分 专题二 第3讲 三角恒等变换与解三角形-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第3讲　三角恒等变换与解三角形 ★[高考定位]　三角恒等变换与解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性较强，解三角形常以解答题的形式考查正、余弦定理的应用，难度中等． 考点一　三角恒等变换 [知识整合] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓ sin αsin β； (3)tan(α±β)＝ 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. [例1]　(1)(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. [解析]　D　[cos2－cos2 ＝－ ＝＋cos－－cos ＝×－×＝.故选：D.] [点睛]　本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题． (2)(2021·新高考全国Ⅰ)若tanθ＝－2，则 ＝(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　C　[由题意可得＝ ＝＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝＝ ＝＝.故选：C.] [点睛]　本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于中等题． 三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2 θ＋cos2θ＝ tan 45°等； (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次；正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． [跟踪训练] 1．(2021·攀枝花一模)已知cos＝－2cos α， tan＝(　　) A．－3 B．－ C. D．3 解析：B　[cos＝－sin α＝－2cos α⇒tan α＝2， 则tan＝＝＝－，故选：B.] 2．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由tan 2α＝，得＝， 即＝， ∵α∈，∴cos α≠0， 则2sin α(2－sin α)＝1－2sin2α，解得sinα＝， 则cosα＝＝， ∴tanα＝＝＝.故选：A.] [点睛]　本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题． 考点二　解三角形 [知识整合] 1．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. [例2]　(Ⅰ)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　 B.　　　C.　　　D．3 [解析]　D　[设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度． 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 结合余弦定理，可得19＝a2＋4－2×a×2×cos 120°， 即a2＋2a－15＝0，解得a＝3 (a＝－5 舍去)， 所以BC＝3.故选：D.] [点睛]　本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题． (Ⅱ)(2021·北京高考)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝. (1)求B的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度． ①c＝b；　②周长为4＋2；　③面积为S△ABC＝； 解析：(1)由正弦定理化边为角即可求解； (2)若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求． (1)∵c＝2bcos B，则由正弦定理可得sin C＝2sin Bcos B， ∴sin 2B＝sin ＝，∵C＝，又B∈，2B∈， ∴2B＝，解得B＝； (2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得＝＝＝， 与c＝b矛盾，故这样的△ABC不存在； 若选择②：由(1)可得A＝， 设△ABC的外接圆半径为R， 则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin＝R， c＝2Rsin＝R， 则周长a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2， 解得R＝2，则a＝