第二部分 专题二 第2讲 三角函数的图象与性质-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第2讲　三角函数的图象与性质 ★[高考定位]　三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下． 考点一　三角函数的定义、基本关系及诱导公式 [知识整合] 1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． [例1]　(1)(2021·赣州二模)已知角α的终边经过点P(1，－2)，则cos(π－α)＝(　　) A.　　B．－　　　C.　　　D．－ [解析]　B　[根据角α的终边经过点P(1，－2)，利用三角函数的定义求得cos α＝＝，再利用诱导公式求cos(π－α)． 因为角α的终边经过点P(1，－2)， 所以cos α＝＝， 所以cos(π－α)＝－cos α＝－.故选：B.] [点睛]　本题主要考查三角函数的定义及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题． (2)(2021·临汾二模)已知α∈，且sin α＋cos α ＝，则tan α＝________. 解析：已知等式平方求得sin αcos α，利用sin αcos α＝＝可解得tan α，注意由已知条件判断出tan α＞－1，从而得正确结论． 因为sin α＋cos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，sin αcos α ＝－， 又α∈，所以cos α＞0，所以sin α＜0，即α∈.所以sin αcos α＝＝＝ －，解得tan α＝－2±. 又sin α＋cos α＝＞0，sin α＞－cos α，而cos α＞0，所以tan α＞－1.所以tan α＝－2＋. 答案：－2＋ [点睛]　本题考查同角间的三角函数关系，解题中注意角的范围的判断，函数值范围判断，否则会出现错误．本题在平方求得积后确定α∈，实际上这个范围还显得有点大，因为从sin α＋cos α＞0的角度可得出tan α＞－1.实际上，在平面直角坐标系中，满足sin α＋cos α＞0的角α的终边在直线x＋y＝0的右上方． 应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误． (2)应用诱导公式与同角三角函数的关系开方运算时，一定要注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． [跟踪训练] 1．(2021·安庆一模)已知3sin＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：A　[利用诱导公式，可得3cos θ－sin θ＝0，进而可求得tan θ的值，根据同角三角函数的关系，结合θ的范围，即可求得答案． 因为3sin＋sin(θ＋π)＝0， 所以3cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝＝3， 因为θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1 所以sin θ＝－.故选：A.] 2．铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1.我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是(　　) 图1　　　图2 A. B. C. D. 解析：B　[如图所示，由tan＝即可解出结果． 如图，设O为内切圆的圆心，r为内切圆的半径．由∠AOB＝36°，AB＝1，tan＝，得tan 18°＝，解得r＝.故选：B.] 考点二　三角函数的图象 [知识整合] 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图： 设z＝ωx＋φ，分别令z＝0，，π，，2π，求出相应x的值与相应y的值，描点、连线可得其图象． (2)图象变换： y＝sin xy＝sin(x＋φ) ,纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin (ωx＋φ)． [例2]　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像，则f(x)＝(　　) A．sin　　　　　 B．sin C．sin D．sin [解析]　B　[由题意利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换规律，得出结论