第二部分 专题二 第1讲 平面向量-【创新教程】2022高考数学总复习大二轮教师用书word（老高考）

第1讲　平面向量 ★[高考定位]　该内容在高考中或直接考查向量的概念和运算，或用以解决有关长度、垂直、夹角、判断多边形的形状等问题．此类题一般以客观题形式出现，难度不大．考查平面向量的综合应用．平面向量常与平面几何、解析几何、三角函数等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅．综合性比较强，难度也比较大． 考点一　平面向量的概念及线性运算 [知识整合] 在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． [例1]　(1)已知向量a，b为非零向量，有以下四个命题： 甲：a＝2b；乙：|a|＝|b|；丙：a与b的方向相反；丁：a∥b. 若以上关于向量a，b的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是(　　 ) A．甲　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁 [解析]　A　[分析可知甲与乙肯定有一个不正确，再分类讨论即可得解． 由题意知，甲与乙肯定有一个不正确，若甲正确，则丙也不正确，不合题意；若甲错误，乙、丙、丁可以同时正确；故甲不正确．故选：A.] (2)(2021·豫南九校联考二)在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B.a＋b C．－a＋b D．a＋b [解析]　A　[取AB中点E，连结DE，构造向量加法的平行四边形法则，即可求解． 解法一：如图，取AB的中点E，连结DE，因为四边形ABCD为等腰梯形，AB＝2CD，所以＝＝，所以四边形BCDE为平行四边形，所以＝＋＋＝－b＋a＋b＝a－b.故选：A. 解法二：如图，取AB的中点E，连结DE，因为四边形ABCD为等腰梯形，AB＝2CD，所以＝，所以四边形BCDE为平行四边形，所以＝＝－＝a－b.故选：A.] [点睛]　在几何图形中进行向量运算： (1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算． 平面向量的线性运算技巧 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系． [跟踪训练] 1．(2021·广西名校大联考三)在三角形ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上且BE＝2EC，则＝(　　) A.－ B.＋ C．－＋ D．－＋ 解析：A　[利用平面向量的减法进行计算可得答案． ＝－＝－－＝－－(－)＝－，故选：A.] 2．设a，b是两个非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b C．a∥b D．a＝4b 解析：D　[结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可得正确选项． 对于选项A：|a|＝|b|且a∥b则a，b两个为相等向量或相反向量，当a＝－b时，＝－，＝不成立，所以|a|＝|b|且a∥b不是＝成立的充分条件，故选项A不正确； 对于选项B：a＝－b时，＝－，所以得不出＝，a＝－b不是＝成立的充分条件，故选项B不正确； 对于选项C：a∥b，若a，b两个向量方向相反时，得不出＝，所以a∥b不是＝成立的充分条件，故选项C不正确； 对于选项D：a＝4b满足a，b同向共线，所以a的单位向量与b的单位向量相等即＝， 所以a＝4b是＝成立的充分条件，故选项D正确； 故选：D.] 考点二　共线向量定理与平面向量基本定理 [知识整合] 1．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 2．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. [例2]　(1)(2021·韶关一模)△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是(　　) A．1　　B.　　　C.　　　D. [解析]　C　[首先利用向量加，减，数乘运算，求得＝＋，计算λ－μ的值． 由＝可知，＝，则有 ＝＋＝＋＝＋(－)＝ ＋，所以，λ＝，μ＝，λ－μ＝.故选：C.] (2)(2021·开封一模)在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．若∠A＝，△ABC的面积为，则·取最小值时，BC＝(　　) A．2 B．4 C．8－12 D.－4 [解析]　A　[根据题中条件，先得到AB·AC，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到·的最小值，以及取得最小值时||与||的值，最后根据余弦定理，即可求出结果． 因为在△ABC中，∠A＝，△ABC的面积为， 所以＝AB·AC sin，则AB·AC＝4， 又M是边BC的中点，N是线段BM的中点， 所以＝(＋)， ＝(＋)＝＝＋， 则·＝